Studio max e min

[nunziox]

Data la funzione:

$log sqrt(x^2+y^2)-x^2-y^2-1$

det max e min.

non riesco ne per via geometrica ne tramite l'hessiano... che consigli date?

[Gi81]

Puoi ricondurti ad avere una funzione in una variabile: $f(t)=log(t) -t^2 -1$ con $t=sqrt(x^2+y^2)$ (dunque $t>=0$)

[nunziox]

dunque devo studiarla come una funzione ad una variabile?

[Gi81]

Esatto. Studia la funzione $f(t)$

[nunziox]

mmm...ed il punto che trovo? cos'è per la f(x,y)?

[Gi81]

Sarà la stessa identica cosa che è per la $f(t)$

[nunziox]

Ad es supponendo che il punto di max o min mi venga nel punto $t=0$ per la $f(x,y)$ che coordinate cartesiane ha?

[Gi81]

Mi autocito:

"Gi8":$t=sqrt(x^2+y^2)$

Quindi $t=0 <=> sqrt(x^2+y^2)=0 <=> x^2+y^2=0 <=> (x=0 ^^ y=0)$

[nunziox]

grazie mille:)

[Gi81]

Che risultati ti sono venuti?

[nunziox]

$t=1/sqrt(2)$ punto di min per la $f(t)$

$x^2+y^2=1/2$

devo studiare max e min nella circonferenza?

[Gi81]

No. Qual è il massimo di $f(t)$? e il minimo?

[nunziox]

ho trovato solo un minimo $t=1/sqrt(2)$ gli altri li ho scartati perchè per il log il dominio della $f(t)$ è $t>0$ giusto?

[Gi81]

Ma scusa, come fa ad avere un minimo? Si vede chiaramente che $lim_(t->+oo) f(t)= -oo$

[nunziox]

scusa $t=1/sqrt(2)$ è massimo per la $f(t)$

[Gi81]

Ok. Quanto vale 'sto massimo?

[nunziox]

$f(1/sqrt(2))=log(1/sqrt(2))-3/2$

[Gi81]

Dunque
\[
\max_{(x,y)} f(x,y)= \log \left( \frac{1}{\sqrt2} \right) - \frac{3}{2}
\]

e non esiste $min f(x,y)$

[nunziox]

ok:) grazie