Studio massimi e minimi vincolati
Ciao a tutti ragazzi,
Devo risolvere ila seguente problema: calcolare i massimi e minimi di $f(x,y)=3x^2-2xy+2y^2-x$ nel dominio definito dal triangolo piano di vertici (0,0); (1,0); (0;1)
Il problema è semplice pero' a un certo punto arrivo a una contraddizione alquanto strana.
Prima di tutto calcolo i punti critici di $f(x,y)$ e col solito metodo delle derivate parziali e della Hessiana, arrivo alla conclusione che il punto $P(\frac{1}{5},frac{1}{10})$ è un minimo.
Dopo di che vediamo cosa succede sulla frontiera del triangolo $T$.
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1- Sulla retta y=0 si che $f(x,0)=3x^2-x$ dove $x\in[0,1]$.
Deriviamo e otteniamo che il punto stazionario è $x=\frac{1}{6}$ con $x\in(0,1)$
Quindi è evidente che $x=\frac{1}{6}$ è un minimo, mentre gli estremi 0 e 1 devono essere dei massimi.
ATTENZIONE: ricordiamo bene che (0,0) deve essere un massimo.
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2- Facciamo la stessa cosa per la retta x=0 e otterremo che $f(0,y)=2y^2$ dove $y\in[0,1]$.
Deriviamo e vediamo che il punto stazionario è y=0 che cade proprio all'estremo. Quindi, essendo la funzione crescente da 0 a 1, è evidente che y=0 è un minimo, mentre 1 è un massimo.
Ecco la contraddizione: ovviamente potrei continuare a vedere sulla diagonale del triangolo, ma è alquanto strano che adesso il punto (0,0) sia un minimo, mentre prima era un massimo. Qualcuno sa spiegarmi dove sbaglio?
Devo risolvere ila seguente problema: calcolare i massimi e minimi di $f(x,y)=3x^2-2xy+2y^2-x$ nel dominio definito dal triangolo piano di vertici (0,0); (1,0); (0;1)
Il problema è semplice pero' a un certo punto arrivo a una contraddizione alquanto strana.
Prima di tutto calcolo i punti critici di $f(x,y)$ e col solito metodo delle derivate parziali e della Hessiana, arrivo alla conclusione che il punto $P(\frac{1}{5},frac{1}{10})$ è un minimo.
Dopo di che vediamo cosa succede sulla frontiera del triangolo $T$.
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1- Sulla retta y=0 si che $f(x,0)=3x^2-x$ dove $x\in[0,1]$.
Deriviamo e otteniamo che il punto stazionario è $x=\frac{1}{6}$ con $x\in(0,1)$
Quindi è evidente che $x=\frac{1}{6}$ è un minimo, mentre gli estremi 0 e 1 devono essere dei massimi.
ATTENZIONE: ricordiamo bene che (0,0) deve essere un massimo.
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2- Facciamo la stessa cosa per la retta x=0 e otterremo che $f(0,y)=2y^2$ dove $y\in[0,1]$.
Deriviamo e vediamo che il punto stazionario è y=0 che cade proprio all'estremo. Quindi, essendo la funzione crescente da 0 a 1, è evidente che y=0 è un minimo, mentre 1 è un massimo.
Ecco la contraddizione: ovviamente potrei continuare a vedere sulla diagonale del triangolo, ma è alquanto strano che adesso il punto (0,0) sia un minimo, mentre prima era un massimo. Qualcuno sa spiegarmi dove sbaglio?
Risposte
Non dovrebbe essere una contraddizione, infatti dovresti proseguire considerando la retta y=-x+1, trovando che i candidati a massimo e minimo su questa retta sono f(1,0)=2 e f(1/2,1/2)=1/4. Solo a questo punto puoi determinare quali sono i massimi e i minimi sulla frontiera,confrontando tutti i valori trovati. Si conclude che il massimo è in (1,0) e il minimo in (1/6,0).
Grazie mille per risposta 
Hai perfettamente ragione. Solo una cosa però: io mi ritrovo anche (0,1) come massimo perché si vede evidentemente che:
$f(0,1)=3*0-2*0*1+2*1^2-0=2$
$f(1,0)=3*1^2-2*1*0+2*0^2-1=3-1=2$
E' corretto? il minimo è evidente che si ha in (1/2,1/2) mentre i due massimi sono (0,1) e (1,0). Mi dai conferma? Spero di si
Hai perfettamente ragione. Solo una cosa però: io mi ritrovo anche (0,1) come massimo perché si vede evidentemente che:
$f(0,1)=3*0-2*0*1+2*1^2-0=2$
$f(1,0)=3*1^2-2*1*0+2*0^2-1=3-1=2$
E' corretto? il minimo è evidente che si ha in (1/2,1/2) mentre i due massimi sono (0,1) e (1,0). Mi dai conferma? Spero di si
Giusto, sia (1,0) che (0,1) sono punti di massimo.
Danke Schön 
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