Studio Massimi e Minimi Funzione

[firimbindr]

Devo ricercare i massimi e i minimi di questa funzione:

$y=x-cosx+senx$


- Dominio
ogni x appartenente a R

- Ricerca dei punti stazionari

$y'=1+senx+cosx$

$1+senx+cosx=0$

$senx=-1-cosx$ come risolvo questa equazione?

Io ho scritto $senx=sqrt(1-cos^2x)$ etc etc

ed ho ottenuto $cosx(cosx-1)=0$

quindi $cosx=0$ allora $x=pi/2+2kpi$ v $x=3/2pi+2kpi$

$cosx-1=0$ -> $cosx=1$ allora $x=2kpi$

I punti stazionari non tornano....qualcuno può aiutarmi?

GRAZIE

[G.D.5]

$y'=1+senx+cosx$

$1+senx+cosx=0 <=> senx=-1-cosx <=> +-sqrt(1-cos^2x)=-1-cosx <=> (+- sqrt(1-cos^2x))^2=(-1cosx)^2 <=> 2cosx(1+cosx)=0 <=> x=pi/2, x=pi$

almeno credo

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Un metodo più generalizzabile per risolvere equazioni "affini" in seno e coseno è secondo me il seguente:

prendiamo il nostro esempio, $\sin x+\cos x=-1$. Moltiplichiamo per $\sqrt{2}/2$ ottenendo

$\sqrt{2}/2 \sin x+\sqrt{2}/2 \cos x = -\sqrt{2}/2$

Oppure:

$\sin x \cos (\pi/4) + \cos x \sin (\pi/4) = -\sqrt{2}/2$

Ricordando la formula di addizione del seno otteniamo:

$\sin(x+\pi/4) = -\sqrt{2}/2$

Che ha come soluzioni:

$x+\pi/4 = -\pi/4 + 2k\pi$, ovvero $x=3\pi/2+2k\pi$,
$x+\pi/4 = -3 \pi/4 + 2k\pi$, ovvero $x=\pi+2k\pi$,

al variare di $k \in \mathbb{Z}$.

[Camillo]

$ x = pi/2 $ è corretto, ma non lo è $x=pi$ , piuttosto $ x = 0 $ va bene.

[G.D.5]

perchè $x=pi$ non è buona come soluzione?

$x=pi <=> cospi=-1$
$x=pi <=> senpi=0$
$1+senpi+cospi=1+0-1=0$

dov'è che ho sbagliato?

[Camillo]

Ho sbagliato a riscrivere la funzione che è diventata $y = x-sinx +cosx $
Sorry

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"WiZaRd":$y'=1+senx+cosx$

$1+senx+cosx=0 <=> senx=-1-cosx <=> +-sqrt(1-cos^2x)=-1-cosx <=> (+- sqrt(1-cos^2x))^2=(-1cosx)^2 <=> 2cosx(1+cosx)=0 <=> x=pi/2, x=pi$

almeno credo

Piuttosto, $x=\pi/2$ non è soluzione. Il motivo è che è sbagliato scrivere

$+-sqrt(1-cos^2x)=-1-cosx <=> (+- sqrt(1-cos^2x))^2=(-1-cosx)^2,$

è invece giusto scrivere

$+-sqrt(1-cos^2x)=-1-cosx => (+- sqrt(1-cos^2x))^2=(-1-cosx)^2$

In altre parole, puoi andare avanti ma non tornare indietro.
Un esempio è il seguente: se $x=y$ allora $x^2=y^2$, ma non è vero il viceversa in quanto la seconda asserzione vale anche quando $x=-y$.

[G.D.5]

giusto

grazie per la correzione

quindi $x=3/2pi$ e $x=pi$...va bene?

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Sì... a meno di aggiungere multipli interi di $2\pi$.

[firimbindr]

la soluzione dell'esercizio è

massimi per $x=pi+2kpi$ e minimi per $x=3/2pi+ 2kpi$

grazie a tutti per l'aiuto