Studio massimi e minimi
Considero la funzione $f(x,y)=x^3-y^3+3alphaxy$ al variare di $alpha\inRR$.
Voglio determinarne i punti critici, i massimi e minimi locali e globali.
Pongo il gradiente di $f$ uguale al vettore nullo per trovare i punti critici:
${(3x^2+3alphay=0),(-3y^2+3alphax=0):}$
Se $alpha!=0$ ho due punti critici che sono $0=(0,0)$ e $A=(alpha,-alpha)$.
Se $alpha=0$ ho un'unico punto critico che e' $O=(0,0)$.
Il determinante della matrice Hessiana di $f$ e' $|H(x,y)|=-36xy-9alpha^2$ e la traccia della matrice Hessiana di $f$ e' $trH(x,y)=6x-6y$.
Se $alpha!=0$ allora:
- $|H(O)|=-9alpha^2<0$ e $trH(O)=0$ dunque i due autovalori hanno segno opposto e quindi O e' punto di sella;
- $|H(A)|=27alpha^2>0$ e $trH(A)=12alpha$ dunque i due autovalori hanno segno concorde e sono positivi se $alpha>0$ e negativi se $alpha<0$ quindi A e' punto di minimo locale stretto se $alpha>0$ e A e' punto di massimo locale stretto se $alpha<0$;
Se $alpha=0$ allora il determinante dell'Hessiana si annulla, come posso in questo caso capire che tipo di punto critico e' O?
Voglio determinarne i punti critici, i massimi e minimi locali e globali.
Pongo il gradiente di $f$ uguale al vettore nullo per trovare i punti critici:
${(3x^2+3alphay=0),(-3y^2+3alphax=0):}$
Se $alpha!=0$ ho due punti critici che sono $0=(0,0)$ e $A=(alpha,-alpha)$.
Se $alpha=0$ ho un'unico punto critico che e' $O=(0,0)$.
Il determinante della matrice Hessiana di $f$ e' $|H(x,y)|=-36xy-9alpha^2$ e la traccia della matrice Hessiana di $f$ e' $trH(x,y)=6x-6y$.
Se $alpha!=0$ allora:
- $|H(O)|=-9alpha^2<0$ e $trH(O)=0$ dunque i due autovalori hanno segno opposto e quindi O e' punto di sella;
- $|H(A)|=27alpha^2>0$ e $trH(A)=12alpha$ dunque i due autovalori hanno segno concorde e sono positivi se $alpha>0$ e negativi se $alpha<0$ quindi A e' punto di minimo locale stretto se $alpha>0$ e A e' punto di massimo locale stretto se $alpha<0$;
Se $alpha=0$ allora il determinante dell'Hessiana si annulla, come posso in questo caso capire che tipo di punto critico e' O?
Risposte
Nel caso $alpha=0$ la funzione si riduce a $f(x,y)=x^3-y^3$.
Vediamo se ho capito...se ad esempio considero la retta $y=x$ ho che su questa retta la funzione e' costantemente nulla.
Dunque posso concludere che l'origine e' un punto di sella?
Vediamo se ho capito...se ad esempio considero la retta $y=x$ ho che su questa retta la funzione e' costantemente nulla.
Dunque posso concludere che l'origine e' un punto di sella?
Ok grazie! 
Riguardo invece i minimi e massimi assoluti?
Io ho pensato che, indipendentemente da $alpha$, $lim_((x,y)->(+oo,1))f(x,y)=+oo$ e $lim_((x,y)->(1,+oo))f(x,y)=-oo$, dunque posso concludere che $f$ non ammette nè massimi assoluti nè minimi assoluti?
Riguardo invece i minimi e massimi assoluti?
Io ho pensato che, indipendentemente da $alpha$, $lim_((x,y)->(+oo,1))f(x,y)=+oo$ e $lim_((x,y)->(1,+oo))f(x,y)=-oo$, dunque posso concludere che $f$ non ammette nè massimi assoluti nè minimi assoluti?
Perfetto, grazie mille!
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