Studio integrali multipli con ( cambiamento)variabili polari

[streghettaalice]

Studiando l'integrale $ int int _Q x^2+y^2 dx dy $ con $ Q= [(x,y) : x^2+ y^2<2y ; x^2+y^2 <2sqrt(3)x]$
ho difficoltà nel cambio delle variabili:

perchè dalle due condizioni di $Q$ ottengo $0<\rho <2sqrt(3) cos(\theta)$ e $0 <\rho <2sin(\theta) $.

Ora devo vedere quando $sin(\theta)
E qui come continuo? perchè ho provato a risolverla come disequazione in $tan(\theta) $ dividendo quindi il caso in cui $ cos(\theta) <0 $ o $>0 $ ma non ottengo poi la soluzione del libro perchè li la porta come se considerassi solo caso in cui $ cos(\theta) >0$.

[Quinzio]

Domanda: hai compreso come è fatto il dominio ?
Dalla tua descrizione non ci ho capito molto ...

[streghettaalice]

nel cambio delle variabili ho posto $x= \rho cos(\theta) , y = \ rho sin(\theta)$ e praticamente mi trovo
$0<\rho <2sqrt(3) cos(\theta)$ e $0 <\rho <2sin(\theta) $.
Ora come continuo?

[streghettaalice]

Come posso dividere in due il dominio distinguendo il caso in cui $ 2 sqrt(3) cos(\theta) $ minore o maggiore di $ 2sin(\theta) $ ?

[Quinzio]

In questo modo ti complichi le cose.
Il dominio è una intersezione di due cerchi.
Adesso con questo aiuto dovresti capire quali sono centro e raggio dei due cerchi, quindi impostare il tuo integrale che venga "risolvibile".

[streghettaalice]

I raggi risultano : $ 0<\rho< 2sin(\theta) $ e $ 0< \rho <2sqrt(3)$, con $ theta in [0, 2\pi]$

[Quinzio]

Non usare le coordinate polari, usa x e y.
Com'è l'eq. generale di una circonferenza con x e y?

[streghettaalice]

se centrata nel punto (0,0) è$ x^2 +y^2 = r ^2 ( r = raggio) $

[streghettaalice]

però non riesco ancora ad arrivare a comporre l'integrale con la circonferenza..