Studio integrale improprio.
Ciao a tutti raga devo risolvere il seguentte esercizio.Dire per quali valori del parametro $\alpha>=0$ esiste finito il seguente integrale; e calcolarlo po nel caso $\alpha=0$:
$int_(0)^(+\infty)((x+2)ln^(\alpha)(1+x^2))/((x+4)^3(x^2+9))$.Io come prima cosa ho verificato che si trattasse di integrale imprio ed è così.Poi ho applicato il solito criteri cioè calcolando il limite:
$lim_(x->+\infty)(x^(\beta)(x+2)ln^(\alpha)(1+x^2))/((x+4)^3(x^2+9))$ dove con $\beta$ ho indicato il secondo parametro; cioè quello del teorema.Come posso fare?
Io ho pensato di ragionare così ho scritto il limite in questo modo:
$lim_(x->+\infty)(xln^\alpha(1+x^2)+2ln^\alpha(1+x^2))/((x+4)^3(x^2+9))x^\beta$ poi sopra homesso in evidenza $x$ e sotto $x^5$ovvero i 2 infiniti di ordine maggiore; così alla fine mi rimane:$lim_(x->+\infty)(x^(\beta+1)ln^\alpha(1+x^2))/x^5$.Questo limite sarà $0$ per $\beta+1<5$ quindi la funzione sarà sommabile per $1<\beta<4$ e per qualunque $\alpha>=0$.E' corretto il mio ragionamento?
$int_(0)^(+\infty)((x+2)ln^(\alpha)(1+x^2))/((x+4)^3(x^2+9))$.Io come prima cosa ho verificato che si trattasse di integrale imprio ed è così.Poi ho applicato il solito criteri cioè calcolando il limite:
$lim_(x->+\infty)(x^(\beta)(x+2)ln^(\alpha)(1+x^2))/((x+4)^3(x^2+9))$ dove con $\beta$ ho indicato il secondo parametro; cioè quello del teorema.Come posso fare?
Io ho pensato di ragionare così ho scritto il limite in questo modo:
$lim_(x->+\infty)(xln^\alpha(1+x^2)+2ln^\alpha(1+x^2))/((x+4)^3(x^2+9))x^\beta$ poi sopra homesso in evidenza $x$ e sotto $x^5$ovvero i 2 infiniti di ordine maggiore; così alla fine mi rimane:$lim_(x->+\infty)(x^(\beta+1)ln^\alpha(1+x^2))/x^5$.Questo limite sarà $0$ per $\beta+1<5$ quindi la funzione sarà sommabile per $1<\beta<4$ e per qualunque $\alpha>=0$.E' corretto il mio ragionamento?
Risposte
Raga gentilmente c'è qualcuno che potrebbe dirmi se il mio ragionamento è corretto oppure no?Grazie 1000
Il finale mi lascia perplesso... Che vuol dire che la funzione è sommabile per $beta$ scelto così e così?
Una funzione o è sommabile o non lo è, mica la sommabilità può dipendere dal parametro introdotto per valutare l'ordine d'infinitesimo?
Quello che hai stabilito finora è che il tuo integrando è un infinitesimo d'ordine minore di $4$, quindi...
Una funzione o è sommabile o non lo è, mica la sommabilità può dipendere dal parametro introdotto per valutare l'ordine d'infinitesimo?
Quello che hai stabilito finora è che il tuo integrando è un infinitesimo d'ordine minore di $4$, quindi...
Allora praticamente il parametro $\beta$ è il parametro del teorema che mi dice che l'integrale esiste finito quando quel limite è $0$ e $\beta>1$.Quindi siccome a me interessa sapere quando quell'integrale esiste finito; posso dire che le funzione è sommabile in quanto $l=0$ e $1<\beta<4$ per ogni $\alpha>=0$.
Certo.
Se vuoi fare le cose per bene, puoi dire ad esempio che l'integrando è un infinitesimo d'ordine $>3$ (insomma fissi $beta=3$) quindi esso è sommabile.
Se vuoi fare le cose per bene, puoi dire ad esempio che l'integrando è un infinitesimo d'ordine $>3$ (insomma fissi $beta=3$) quindi esso è sommabile.
La convergenza di quest'integrale equivale a quella di $\int_1^{+\infty}\frac{\(\ln\(1+x^2\)\)^a}{x^4}dx$.
Ok grazie 1000; e invece per il calcolo di quest'integrale come posso ragionare:
$int_(1)^(+\infty) (x^2+1)^\alpha/((x^2+4)x^2)$; anche qui ho apllicato il solito criterio per stabilire se un integrale esiste finito o no?
$int_(1)^(+\infty) ((x^2+1)^\alphax^\beta)/((x^2+4)x^2)$ dove con $\beta$ ho indicato il parametro del teorema; anche in questo caso $\alpha>=0$.Io facendo i vari calcoli sn arrivato alla conclusione che l'integrale esiste finito se: $2^\alpha+\beta<=4$ e contemporaneamente deve essere $\alpha>=0$ $\beta>1$.
$int_(1)^(+\infty) (x^2+1)^\alpha/((x^2+4)x^2)$; anche qui ho apllicato il solito criterio per stabilire se un integrale esiste finito o no?
$int_(1)^(+\infty) ((x^2+1)^\alphax^\beta)/((x^2+4)x^2)$ dove con $\beta$ ho indicato il parametro del teorema; anche in questo caso $\alpha>=0$.Io facendo i vari calcoli sn arrivato alla conclusione che l'integrale esiste finito se: $2^\alpha+\beta<=4$ e contemporaneamente deve essere $\alpha>=0$ $\beta>1$.
Per $\alpha =0$ si deve calcolare $\int_0^{+\infty}\frac{x+2}{(x+4)^3(x^2+9)}dx$.
No in questo caso devo calcolarlo per $\alpha=1$
[size=75]Data la lunghezza del post ho deciso di spezzarlo in due parti.[/size]
Allora identikit_man, visto che ti perdi nelle notazioni e nei passaggi, cerchiamo di fare un po' di chiarezza.
Innanzitutto ricordo i due teoremi sulla sommabilità:
Inoltre, ricordo che, per funzioni che hanno segno definitivamente costante, la sommabilità equivale all'integrabilità semplice (ossia all'esistenza dell'integrale improprio $\int_a^b f(x)" d"x$, nel primo caso, o $\int_a^(+oo) f(x)" d"x$, nel secondo); questo non vale in generale: basti pensare alla funzione $(sin x)/x$ che è semplicemente integrabile ma non sommabile in $[0,+oo[$.
Tuttavia si ha sempre $f " sommabile" => f " semplicemente integrabile"$ e tanto basta, il più delle volte, per risolvere gli esercizi sulla convergenza degli integrali impropri.
__________
* Ricordo che l'essere $lim_(x\to +oo)f(x)=0$ è condizione necessaria all'integrabilità impropria su $[a,+oo[$.
Allora identikit_man, visto che ti perdi nelle notazioni e nei passaggi, cerchiamo di fare un po' di chiarezza.
Innanzitutto ricordo i due teoremi sulla sommabilità:
Siano $a\in RR$, $f:]a,b]\to RR$ continua ed infinita in $a$ (nel senso che $lim_(x\to a^+) |f(x)|=+oo$).
Se $f$ è un infinito in $a$ d'ordine non maggiore di un $beta <1$ rispetto ad $1/(x-a)$ (in particolare un infinito d'ordine $beta$), ossia se esistono $beta<1$ ed $l>=0$ tali che:
(a) $\quad lim_(x\to +oo) |f(x)|/(1/(x-a)^beta)=lim_(x\to +oo) (x-a)^beta |f(x)|=l$
allora $f$ è sommabile in $[a,b]$ (o, come si usa dire, sommabile intorno ad $a$).
Viceversa, se $f$ è un infinito in $a$ d'ordine non minore di $1$ (rispetto ad $1/(x-a)$), ossia se risulta:
(b) $\quad lim_(x\to +oo) |f(x)|/(1/(x-a))=lim_(x\to +oo) (x-a)|f(x)| !=0$
allora $f$ non è sommabile in $[a,b]$.
Siano $a\in RR$, $f:[a,+oo[\to RR$ continua ed infinitesima in $+oo$*.
Se $f$ è un infinitesimo in $+oo$ d'ordine non minore di un $beta >1$ rispetto ad $1/x$ (in particolare un infinitesimo d'ordine $beta$), ossia se esistono $beta>1$ ed $l>=0$ tali che:
(A) $\quad lim_(x\to +oo) |f(x)|/(1/x^beta)=lim_(x\to +oo) x^beta |f(x)|=l$
allora $f$ è sommabile in $[a,+oo[$ (o, come si suol dire, sommabile in $+oo$).
Viceversa, se $f$ è un infinitesimo in $+oo$ d'ordine non maggiore di $1$ (rispetto ad $1/x$), ossia se risulta:
(B) $\quad lim_(x\to +oo) |f(x)|/(1/x)=lim_(x\to +oo) x|f(x)| !=0$
allora $f$ non è sommabile in $[a,+oo[$.
Inoltre, ricordo che, per funzioni che hanno segno definitivamente costante, la sommabilità equivale all'integrabilità semplice (ossia all'esistenza dell'integrale improprio $\int_a^b f(x)" d"x$, nel primo caso, o $\int_a^(+oo) f(x)" d"x$, nel secondo); questo non vale in generale: basti pensare alla funzione $(sin x)/x$ che è semplicemente integrabile ma non sommabile in $[0,+oo[$.
Tuttavia si ha sempre $f " sommabile" => f " semplicemente integrabile"$ e tanto basta, il più delle volte, per risolvere gli esercizi sulla convergenza degli integrali impropri.
__________
* Ricordo che l'essere $lim_(x\to +oo)f(x)=0$ è condizione necessaria all'integrabilità impropria su $[a,+oo[$.
Ora, vediamo come si applica il teorema nel caso del secondo esercizio, in cui ti si chiede di stabilire per quali valori di $alpha \in RR$ esiste finito l'integrale improprio:
$\int_0^(+oo) (x^2+1)^\alpha/(x^2(x^2+4)) " d"x\quad$.
La prima cosa da fare, a norma dei teoremi, è stabilire se la funzione integranda $(x^2+1)^\alpha/(x^2(x^2+4))$ è continua in $[0,+oo[$.
In questo caso, visto che il numeratore non va zeri e che il denominatore si annulla unicamente in $0$, la funzione integranda è continua in $]0,+oo[$ ed infinita in $0$ per ogni $alpha \in RR$; inoltre l'integrando è ovunque positivo, quindi per stabilire l'esistenza dell'integrale improprio occorre e basta studiare la sommabilità di $(x^2+1)^\alpha/(x^2(x^2+4))$ intorno a $0$ ed in $+oo$.
Si deve dunque stabilire, a norma dei teoremi, per quali valori di $alpha \in RR$ la funzione $(x^2+1)^\alpha/(x^2(x^2+4))$ è infinita in $0$ d'ordine $<= beta$ con $beta<1$ e se tale funzione è infinitesima in $+oo$ d'ordine $>=beta$ con $beta>1$.
Cominciamo a vedere cosa accade in $+oo$, distinguendo un po' di casi:
1. $alpha <= 0$: in tal caso si ha $(x^2+1)^\alpha/(x^2(x^2+4))=1/(x^2(x^2+4)(x^2+1)^(|alpha|))$, quindi mettendo in evidenza un po' di potenze di $x$ si trova:
$\quad (x^2+1)^\alpha/(x^2(x^2+4))=1/(x^(2+2+2|alpha|)(1+4/x^2)(1+1/x^2)^(|alpha|))=1/x^(4+2|alpha|)*1/((1+4/x^2)(1+1/x^2)^(|alpha|))$
in tal modo risulta evidente che $(x^2+1)^\alpha/(x^2(x^2+4)) \to 0$ in $+oo$ e che tale funzione è infinitesima d'ordine $beta=4+2|alpha|>1$ (provare per credere!), cosicché essa è sommabile in $+oo$;
2. $alpha>0$: in tal caso mettendo in evidenza un po' di potenze troviamo:
$\quad (x^2+1)^\alpha/(x^2(x^2+4))=x^(2alpha-4) (1+1/x^2)^alpha/(1+4/x^2)$
cosicché l'integrando è infinitesimo in $+oo$ se e solo se risulta $2alpha-4<0$, ossia se $alpha<2$; pertanto per $alpha >=2$, $(x^2+1)^\alpha/(x^2(x^2+4))$ non è sommabile in $+oo$, mentre per $0< alpha <2$ la $(x^2+1)^\alpha/(x^2(x^2+4))$ è infinitesima in $+oo$ d'ordine esattamente pari a $beta=4-2alpha$ (provare per credere!) e quindi si ha sommabilità in $+oo$ solo se $beta >1$ ossia se $alpha<3/2$.
Riassumendo: la $(x^2+1)^\alpha/(x^2(x^2+4))$ è sommabile in $+oo$ se e solo se $alpha <3/2$.
Ora veniamo alla sommabilità in $0$: abbiamo $(x^2+1)^\alpha/(x^2(x^2+4))=1/x^2*(x^2+1)^\alpha/(x^2+4)$, cosicché $f$ è prodotto di una funzione infinita in $0$ e di una funzione continua e non nulla in $0$ per ogni valore di $alpha$. Volendo stabilire l'ordine d'infinito di $(x^2+1)^\alpha/(x^2(x^2+4))$ in $0$ possiamo anche trascurare la "componente continua" (chè non dà problemi, né contributi) e concentrarci solo sulla "parte infinita": evidentemente $1/x^2$ è infinita in $0$ d'ordine $beta=2$, pertanto $(x^2+1)^\alpha/(x^2(x^2+4))$ è infinita in $0$ d'ordine $2$ per ogni valore di $alpha \in RR$.
Il teorema ci assicura che $(x^2+1)^\alpha/(x^2(x^2+4))$ non è sommabile in $0$ per alcun valore di $alpha \in RR$.
Mettendo insieme quanto trovato, si ricava che la tua funzione non è sommabile, quindi nemmeno integrabile, in $[0,+oo[$.
Tuttavia, visto che i problemi sorgono solo intorno a $0$, la funzione $(x^2+1)^\alpha/(x^2(x^2+4))$ è sommabile in ogni intervallo del tipo $[a,+oo[$, con $a>0$, a patto che sia $alpha <3/2$.
P.S.: Ovviamente, data la lunghezza del post, sarebbe un miracolo l'assenza di errori... Pertanto fai molta attenzione quando leggi e rivedi tutti i passaggi.
$\int_0^(+oo) (x^2+1)^\alpha/(x^2(x^2+4)) " d"x\quad$.
La prima cosa da fare, a norma dei teoremi, è stabilire se la funzione integranda $(x^2+1)^\alpha/(x^2(x^2+4))$ è continua in $[0,+oo[$.
In questo caso, visto che il numeratore non va zeri e che il denominatore si annulla unicamente in $0$, la funzione integranda è continua in $]0,+oo[$ ed infinita in $0$ per ogni $alpha \in RR$; inoltre l'integrando è ovunque positivo, quindi per stabilire l'esistenza dell'integrale improprio occorre e basta studiare la sommabilità di $(x^2+1)^\alpha/(x^2(x^2+4))$ intorno a $0$ ed in $+oo$.
Si deve dunque stabilire, a norma dei teoremi, per quali valori di $alpha \in RR$ la funzione $(x^2+1)^\alpha/(x^2(x^2+4))$ è infinita in $0$ d'ordine $<= beta$ con $beta<1$ e se tale funzione è infinitesima in $+oo$ d'ordine $>=beta$ con $beta>1$.
Cominciamo a vedere cosa accade in $+oo$, distinguendo un po' di casi:
1. $alpha <= 0$: in tal caso si ha $(x^2+1)^\alpha/(x^2(x^2+4))=1/(x^2(x^2+4)(x^2+1)^(|alpha|))$, quindi mettendo in evidenza un po' di potenze di $x$ si trova:
$\quad (x^2+1)^\alpha/(x^2(x^2+4))=1/(x^(2+2+2|alpha|)(1+4/x^2)(1+1/x^2)^(|alpha|))=1/x^(4+2|alpha|)*1/((1+4/x^2)(1+1/x^2)^(|alpha|))$
in tal modo risulta evidente che $(x^2+1)^\alpha/(x^2(x^2+4)) \to 0$ in $+oo$ e che tale funzione è infinitesima d'ordine $beta=4+2|alpha|>1$ (provare per credere!
), cosicché essa è sommabile in $+oo$;2. $alpha>0$: in tal caso mettendo in evidenza un po' di potenze troviamo:
$\quad (x^2+1)^\alpha/(x^2(x^2+4))=x^(2alpha-4) (1+1/x^2)^alpha/(1+4/x^2)$
cosicché l'integrando è infinitesimo in $+oo$ se e solo se risulta $2alpha-4<0$, ossia se $alpha<2$; pertanto per $alpha >=2$, $(x^2+1)^\alpha/(x^2(x^2+4))$ non è sommabile in $+oo$, mentre per $0< alpha <2$ la $(x^2+1)^\alpha/(x^2(x^2+4))$ è infinitesima in $+oo$ d'ordine esattamente pari a $beta=4-2alpha$ (provare per credere!) e quindi si ha sommabilità in $+oo$ solo se $beta >1$ ossia se $alpha<3/2$.
Riassumendo: la $(x^2+1)^\alpha/(x^2(x^2+4))$ è sommabile in $+oo$ se e solo se $alpha <3/2$.
Ora veniamo alla sommabilità in $0$: abbiamo $(x^2+1)^\alpha/(x^2(x^2+4))=1/x^2*(x^2+1)^\alpha/(x^2+4)$, cosicché $f$ è prodotto di una funzione infinita in $0$ e di una funzione continua e non nulla in $0$ per ogni valore di $alpha$. Volendo stabilire l'ordine d'infinito di $(x^2+1)^\alpha/(x^2(x^2+4))$ in $0$ possiamo anche trascurare la "componente continua" (chè non dà problemi, né contributi) e concentrarci solo sulla "parte infinita": evidentemente $1/x^2$ è infinita in $0$ d'ordine $beta=2$, pertanto $(x^2+1)^\alpha/(x^2(x^2+4))$ è infinita in $0$ d'ordine $2$ per ogni valore di $alpha \in RR$.
Il teorema ci assicura che $(x^2+1)^\alpha/(x^2(x^2+4))$ non è sommabile in $0$ per alcun valore di $alpha \in RR$.
Mettendo insieme quanto trovato, si ricava che la tua funzione non è sommabile, quindi nemmeno integrabile, in $[0,+oo[$.
Tuttavia, visto che i problemi sorgono solo intorno a $0$, la funzione $(x^2+1)^\alpha/(x^2(x^2+4))$ è sommabile in ogni intervallo del tipo $[a,+oo[$, con $a>0$, a patto che sia $alpha <3/2$.
P.S.: Ovviamente, data la lunghezza del post, sarebbe un miracolo l'assenza di errori... Pertanto fai molta attenzione quando leggi e rivedi tutti i passaggi.
Ciao scusa Gugo 82 grazie 1000 per l'aiuto.Però inzialmente o sbagliato a scrivere l'integrale; in quanto l'intervallo d'integrazione nn è $[0,+\infty[$; ma è$[1,+\infty[$ quindi la funzione è continua e si tratta di un semplice integrale improprio.Cmq ti trascrivo il teorema che ho preso dal mio libro:
Sia $f:[a,+\infty[->R$ integrabile secondo riemann in $[a,T]$ per ogni $T>a$.Sia $\beta>0$.Se esiste il seguente limite:
$lim_(x->+\infty)|f(x)|x^\beta=l$ allora:
1.se $01$,integrabile ma nn sommabile nel caso $\beta<=1$
2.se $l=0$,la funzione $f$ è sommabile nel caso $\beta>1$; mentre nulla può dirsi sulla sommabilità nel caso $\beta<=1$
3.se $l=+\infty$,la funzione $f$ è integrabile ma nn sommabile nel caso $\beta<=1$ mentre nulla può dirsi sulla sommabilità nel caso $\beta>1$.
Ora penso che sostanzialmente sia lo stesso di quello che hai scritto tu.Il mio unico problema che mi fa confondere è la presenza dei 2 parametri; perchè fino a quando c'è ne uno allora va bene ; ma con 2 mi confondo.
Sia $f:[a,+\infty[->R$ integrabile secondo riemann in $[a,T]$ per ogni $T>a$.Sia $\beta>0$.Se esiste il seguente limite:
$lim_(x->+\infty)|f(x)|x^\beta=l$ allora:
1.se $0
2.se $l=0$,la funzione $f$ è sommabile nel caso $\beta>1$; mentre nulla può dirsi sulla sommabilità nel caso $\beta<=1$
3.se $l=+\infty$,la funzione $f$ è integrabile ma nn sommabile nel caso $\beta<=1$ mentre nulla può dirsi sulla sommabilità nel caso $\beta>1$.
Ora penso che sostanzialmente sia lo stesso di quello che hai scritto tu.Il mio unico problema che mi fa confondere è la presenza dei 2 parametri; perchè fino a quando c'è ne uno allora va bene ; ma con 2 mi confondo.
Cmq io dopo aver visto i tuoi calcoli ho proceduto così; come già detto si tratta di integrale improprio; quindi applico il teorema visto precedentemente per vedere quando l'integrale esiste finito:
$lim_(x->+\infty) ((x^2+1)^\alphax^\beta)/((x^2+4x)x^2)$ ora facendo i vari calcoli ottengo.
$lim_(x->+\infty)(x^(2\alpha+\beta)+x^\beta)/(x^4+4x^2)$ ora affinche la funzione sia sommabile occorre che questo limite sia $>0$ oppure $=0$ per $\beta>1$ quindi affinche questo limite sia finito occorre che: $2\alpha+\beta<=4$ distinguo i 2 casi(nn considero il caso $\alpha<=0$ in quanto nel testo dell'esercizio mi viene detto che è già $\alpha>=0$
1. $2\alpha+\beta=4$ $rArr$ $\beta=4-2\alpha$ $rArr$ $4-2\alpha>1$$rArr$$\alpha<3/2$ in questo caso l'integrale risulterà sommabile all'infinito.
2.Il secondo caso è il caso in cui $2\alpha+\beta<4$$rArr$$\beta<4-2\alpha$ ricordando ancora una volta che $\beta>1$ ottengo $\alpha<3/2$.
Quindi l'integrale risulterà finito per $0<=\alpha<3/2$.E' corretto il mio ragionamento?
$lim_(x->+\infty) ((x^2+1)^\alphax^\beta)/((x^2+4x)x^2)$ ora facendo i vari calcoli ottengo.
$lim_(x->+\infty)(x^(2\alpha+\beta)+x^\beta)/(x^4+4x^2)$ ora affinche la funzione sia sommabile occorre che questo limite sia $>0$ oppure $=0$ per $\beta>1$ quindi affinche questo limite sia finito occorre che: $2\alpha+\beta<=4$ distinguo i 2 casi(nn considero il caso $\alpha<=0$ in quanto nel testo dell'esercizio mi viene detto che è già $\alpha>=0$
1. $2\alpha+\beta=4$ $rArr$ $\beta=4-2\alpha$ $rArr$ $4-2\alpha>1$$rArr$$\alpha<3/2$ in questo caso l'integrale risulterà sommabile all'infinito.
2.Il secondo caso è il caso in cui $2\alpha+\beta<4$$rArr$$\beta<4-2\alpha$ ricordando ancora una volta che $\beta>1$ ottengo $\alpha<3/2$.
Quindi l'integrale risulterà finito per $0<=\alpha<3/2$.E' corretto il mio ragionamento?
Corretto, ma macchinoso.
La condizione che cerchi di verificare, ossia $lim_(x\to +oo) x^beta|f(x)|=l$ con $l>=0$ e $beta>1$, in realtà vuol dire "$f$ ha da essere un infinitesimo d'ordine non inferiore ad un $beta>1$ in $+oo$"; pertanto, nella pratica, non serve esplicitamente calcolare il limite, bensì basta stabilire l'ordine d'infinitesimo di $f$ in $+oo$. Insomma, puoi anche fare a meno di introdurre $x^beta$ nei calcoli.
Nel caso in questione si vede da subito che l'integrando è un infinitesimo d'ordine $4-2alpha$ in $+oo$, quindi basta risolvere la disequazione $4-2alpha>1$.
La condizione che cerchi di verificare, ossia $lim_(x\to +oo) x^beta|f(x)|=l$ con $l>=0$ e $beta>1$, in realtà vuol dire "$f$ ha da essere un infinitesimo d'ordine non inferiore ad un $beta>1$ in $+oo$"; pertanto, nella pratica, non serve esplicitamente calcolare il limite, bensì basta stabilire l'ordine d'infinitesimo di $f$ in $+oo$. Insomma, puoi anche fare a meno di introdurre $x^beta$ nei calcoli.
Nel caso in questione si vede da subito che l'integrando è un infinitesimo d'ordine $4-2alpha$ in $+oo$, quindi basta risolvere la disequazione $4-2alpha>1$.
Ok grazie 1000 mi hai chiarito tutto.
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