Studio integrale improprio

[alevise1992]

Ciao a tutti

Sono completamente a secco sull'argomento citato qui sopra e mi è richiesto di svolgere il seguente esercizio:

$ int_(0)^(infty) (1+x^b)/(x^a(1+x^2)) dx $

Calcolare i due parametri $a,b in R $ tali che l'integrale converga.

Se poteste darmi una mano ad impostare il ragionamento, ve ne sarei grato

Grazie mille

[ostrogoto1]

Ricorda che
$ int_0^(1)1/x^alphadx $ che converge per $ alpha<1 $ [ con $ alpha<0 $ ovviamente no problem]
et
$ int_1^(+oo)1/x^alphadx $ che converge per $ alpha>1 $

[alevise1992]

Dunque per studiare questo integrale mi conviene dividerlo in due parti, e poi considerare per ogni parte in primis la convergenza di

$ int_0^(1)1/x^alphadx $ e $ int_1^(infty)1/x^alphadx $

In questo modo mi ricavo la prima condizione di convergenza per alpha.

Ma trovando che da un lato converge per $alpha<1$ e dall'altro per $alpha>1$ in quale intervallo possono convergere entrambe??

[ostrogoto1]

Quando ho scritto i due integrali con le condizioni su $ alpha $ nel precedente messaggio non intendevo riferirmi a nessuno dei due parametri dell'integrale da studiare...

Poi consideriamo l'integrabilita' dell'integranda in x=0

Per $ b>=0 $ si ha
$ (1+x^b)/(x^a(1+x^2))~1/x^a $ quindi convergenza per $ a<1 $
Per $ b<0 $ si ha
$ (1+x^b)/(x^a(1+x^2))~x^b/x^a=1/x^(a-b) $ quindi convergenza per $ a-b<1 $

Prova tu l'integrabilita' in un intorno di $ +oo $

[alevise1992]

Non riesco a capire il secondo punto, nel quale per $ b < 0 $ abbiamo che la funzione è asintotica a $ x^a/x^b $

Scusami

[ostrogoto1]

Se b<0 allora $ x^b=1/x^(|b|)rarr+oo $ per $ xrarr0 $

$ (1+x^b)=(1+1/x^(|b|))~1/x^(|b|) $ per $ xrarr0 $

al denominatore $ x^a+x^(a+2) $ e prevale $ x^a $ per $ xrarr0 $

$ (1+x^b)/(x^a(1+x^2))~x^b/x^a $