Studio integrale funzione composta

[delca85]

Devo studiare questa funzione integrale $F(x)=\int_0^(2*cosx) 1/(4-t^2)dt$. Il dominio della funzione integrale è $U (kpi,(k+1)pi),AAkinZZ$. Vedo se la funzione integrale è sommabile in un intorno destro di $0$ e per farlo devo sapere l'ordine di infinito di $1/(4-4cos^2x)$, calcolo cioè $lim_(xrarr0) x^(alpha)/(4-4cos^2x)$ che per $alpha=2$ è $1/2$. Di conseguenza io dico che l'integrale non è sommabile in un intorno destro di $0$. Faccio lo stesso discorso nell'intorno sinistro di $pi$ e arrivo quindi a concludere che il dominio della funzione integrale è $(0,pi)$.
Mi dite se sono arrivata alle giuste conclusioni?

[Lord K]

Osserva che:

$F(x) = int_0^(2*cosx) (dt)/(4-t^2) = int_0^(2*cosx) 1/4*1/(2-t) dt + int_0^(2*cosx) 1/4*1/(2+t) dt = [1/4*ln(2-t)]_0^(2*cosx) + [1/4*ln(2+t)]_0^(2*cosx) = 1/4*ln(2-2cosx)-ln(2)/4 + 1/4*ln(2+2cosx)-ln(2)/4 = 1/4*ln(4-4cos^2x) - ln(2)/2$

[delca85]

Grazie! Hai ragione! Non ci avevo proprio pensato a risolverlo "algebricamente". Il dominio della primitiva è $RR\\{pi+k*pi,kinZZ}$. Valori per cui l'argomento del logaritmo è positivo. Quindi è localmente integrabile per tutti gli intervalli aperti che hanno come estremi i punti con coseno uguale a $+-1$. Giusto?

[Lord K]

Esatto.

[delca85]

Perfetto! Grazie mille!