Studio integrabilità con parametro

[DD961]

Salve, ho un problemino con questo integrale:

\( \int_0^{oo} (e^{-ax} + sqrt(ax))/(x+x^a)\ \text{d} x\)

ho risolto per x che tende a 0 ma all'infinito non riesco a capire.

grazie in anticipo.

[kobeilprofeta]

$\int_0^{+\infty} frac{e^{-ax}+sqrt(ax)}{x+x^a} dx$

[spugna2]

Devi capire quali sono i termini dominanti: dopo aver imposto $a \ge 0$ per le condizioni di esistenza sulla radice hai sostanzialmente due casi:

- $a=0 \rArr f(x)=1/{x+1} \rArr$ l'integrale non converge;

- $a>0 \rArr$ i termini dominanti sono $sqrt{ax}$ al numeratore e $x^{\max{1,a}}$ al denominatore, quindi la funzione è asintoticamente equivalente a ${\sqrt{ax}}/{x^{\max{1,a}}}$ e l'integrale da $1$ a $+\infty$ converge se e solo se $a>3/2$

[DD961]

Invece per quanto riguarda l'intervallo (0;1]?

[spugna2]

Se hai già risolto per $x -> 0$ dovresti già saperlo... In ogni caso la risposta dovrebbe essere:

Possiamo supporre $a>3/2$, perché altrimenti sappiamo già che l'integrale per $x -> +\infty$ diverge, quindi a maggior ragione diverge l'integrale da $0$ a $+\infty$.

Detto questo, osserviamo che stavolta i termini dominanti sono $e^{-ax}$ e $x$, quindi abbiamo l'equivalenza asintotica con $e^{-ax}/x$, ma allora risulta

$int_0^1 e^{-ax}/x dx >= int_0^1 e^{-a}/x dx = +\infty$

Ciò significa che se non ho fatto errori (cosa per niente certa) l'integrale di partenza diverge $\forall a>=0$