Studio insieme di convergenza delle serie di funzioni
Salve, volevo chiedervi un aiuto riguardo queste serie di funzioni .
\[\sum_{n=1}^{infinito}\frac {1}{n^2x^n}\]
Io l'ho confrontata con la serie geometrica e ho trovato che converge assolutamenge e quindi puntualmente quando |x|> 1 quindi da (-infinito,-1) e (1, + infinito )
Giusto?
Poi dovevo studiare quest*altra serie \[\sum_{n=1}^{infinito} (n^2+n+1)^x\]
Di questa ho visto che la condizione necessaria ma non sufficiente per la convergenza non veniva soddisfatta in qjanto il limite per n---> infinito mi viene infinito e non zero.
Confermate? Grazie mille a chi risponderà :*
\[\sum_{n=1}^{infinito}\frac {1}{n^2x^n}\]
Io l'ho confrontata con la serie geometrica e ho trovato che converge assolutamenge e quindi puntualmente quando |x|> 1 quindi da (-infinito,-1) e (1, + infinito )
Giusto?
Poi dovevo studiare quest*altra serie \[\sum_{n=1}^{infinito} (n^2+n+1)^x\]
Di questa ho visto che la condizione necessaria ma non sufficiente per la convergenza non veniva soddisfatta in qjanto il limite per n---> infinito mi viene infinito e non zero.
Confermate? Grazie mille a chi risponderà :*
Risposte
Per quanto riguarda la prima serie credo che la serie converga anche per $x=1,-1$ infatti:
$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}$ converge ( a maggior ragione convergerà col segno meno!)
Per la seconda invece puoi vedere che il comportamento della serie asintoticamente è:
$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^{-2x}}$ per cui si ha convergenza quando $-2x>1$ cioè quando $x<-1/2$
$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}$ converge ( a maggior ragione convergerà col segno meno!)
Per la seconda invece puoi vedere che il comportamento della serie asintoticamente è:
$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^{-2x}}$ per cui si ha convergenza quando $-2x>1$ cioè quando $x<-1/2$
Per la prima serie dunque l*intervallo di convergenza è (-infinito,-1] unito [1,+infinito) .
Per la seconda ho capito cosa fai ma a questo punto volevo chiederti una cosa.io ogni volta che svolgo una serie di funzioni vado a verificare x prima cosa la condizione neessaria e non sufficiente per la convergenza, in questo caso avevo risolto il limite e non venendo zero avevo detto "ok allora non converge e basta".invece applicando il criterio del confronto come mi hai fatto vede tu vedo che converge in alcuni punti perciò ti chiedo ho sbagliato io a calcolare la condizione necessaria e non suff per la convergenza? Oppure per le serie di funzioni anche se non mi viene uguale a zero devo provare ad applicare qualche criterio in quanto il valore del limite per n---> infinito della f_n(x) varia a seconda del valore della x? Grazie :*
Per la seconda ho capito cosa fai ma a questo punto volevo chiederti una cosa.io ogni volta che svolgo una serie di funzioni vado a verificare x prima cosa la condizione neessaria e non sufficiente per la convergenza, in questo caso avevo risolto il limite e non venendo zero avevo detto "ok allora non converge e basta".invece applicando il criterio del confronto come mi hai fatto vede tu vedo che converge in alcuni punti perciò ti chiedo ho sbagliato io a calcolare la condizione necessaria e non suff per la convergenza? Oppure per le serie di funzioni anche se non mi viene uguale a zero devo provare ad applicare qualche criterio in quanto il valore del limite per n---> infinito della f_n(x) varia a seconda del valore della x? Grazie :*
Non so se ho capito bene, ma per condizione necessaria e non sufficiente intendi quella condizione che ti dice che affinché la serie converga, la successione deve essere infinitesima? In questo caso quindi tu ti stai riferendo a limite:
$\lim_{n\rightarrow\infty}(n^2+n+1)^{x}$
ma a questo punto dimentichi la dipendenza da x del limite!
$\lim_{n\rightarrow\infty}(n^2+n+1)^{x}$
ma a questo punto dimentichi la dipendenza da x del limite!
Si intendendo quel limite per cond. Necessaria ma non sufficiente:)) ultimissima cosa, facendo la serie \[\sum_{n=1}^{infinito} (n^2+n+1)^x\] in realtà potevo svolgerla anche cosi
\[\(n^2+n+1)^x\] è circa n^2x ora potevo dire \[\ (n^2)^x> n^x\] e \[\frac{1}{(n^2)^x}\leq\frac {1}{n^x}\] e dato che la serie che maggiora è l *armonica faccio come prima, essa converge da x> 1 e quindi ora 2x> 1 ma cosi mi verrebbe che la serie converge per x> 1/2. questo procedimento è sbagliato solo perché se poi vado a sostituire un numero maggiore di 1/2 alla condizione necessaria ma non suff vedo che il limite è infinito e non zero o proprio sbaglio qualche altra cosa io?grazie ancora per la disponibilità
\[\(n^2+n+1)^x\] è circa n^2x ora potevo dire \[\ (n^2)^x> n^x\] e \[\frac{1}{(n^2)^x}\leq\frac {1}{n^x}\] e dato che la serie che maggiora è l *armonica faccio come prima, essa converge da x> 1 e quindi ora 2x> 1 ma cosi mi verrebbe che la serie converge per x> 1/2. questo procedimento è sbagliato solo perché se poi vado a sostituire un numero maggiore di 1/2 alla condizione necessaria ma non suff vedo che il limite è infinito e non zero o proprio sbaglio qualche altra cosa io?grazie ancora per la disponibilità
quello che scrivi è giusto, ma non è la tua serie! la tua disuuaglianza è vera quando $n\geq 1$ tuttavia la tua serie si comporta asintoticamente come $\frac{1}{n^{-2x}}$ e non come $\frac{1}{n^{2x}}$ in questo caso varrebbero le tue conclusioni, che sono giuste ma applicate al contesto sbagliato 
Perfetto.
grazie sei stato gentilissimo :*
grazie sei stato gentilissimo :*
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo