Studio F(x) Irrazionali Fratte

[xMauri94]

Salve a tutti, mi è stato assegnato per casa lo svolgimento di queste tre funzioni irrazionali fratte. Dato che l'argomento mi è chiaro al 60%, nel senso che alcune funzioni le riesco a studiare tranquillamente, ma spesso ci sono casi che non riesco a completare, e davanti queste situazioni non riesco ad andare avanti, e sono ancora elementari eh! Comunque, prima di disegnare i grafici delle funzioni che riporterò al di sotto, avevo da svolgere, ovviamente, Campo di esistenza, Segno, Intersezione con gli assi e relativi limiti per asintoti orizzontali e verticali. Ora vi riporto i miei calcoli che sono sicuramente errati con relative spiegazioni, se potreste darmi una mano a farmi capire dove ho commesso errori e perché mi sareste davvero di grande aiuto!

1) $ y = (sqrt(x)-3)/(x^2-4) $

- Campo di esistenza:
Per il campo di esistenza svolgo il sistema tra l'argomento della radice al numeratore, posta maggiore/uguale a 0 e l'equazione di secondo grado al denominatore, posta diversa da 0.

$ x >= 0 $
$ x^2 - 4 != 0 -> x_1 != -2 ; x_2 != 2 $

Allora il campo di esistenza dovrebbe essere tutto R (come mi dice il numeratore) a parte i valori 2 e -2.

$ AA x in mathbb {R} - {-2, 2} $

- Segno:
Per calcolare il segno, pongo la funzione maggiore di 0 e svolgo separatamente la disequazione al numeratore e quella al denominatore.

$ (sqrt(x)-3)/(x^2-4) > 0 $

$ N. sqrt(x)-3 > 0 -> sqrt(x) > 3 -> x > 9 $

$ D. x^2 - 4 > 0 -> -2 < x vv x > 2 $

La funzione dovrebbe essere positiva per :

$ x > 9 , -2 < x < 2 $

Ora però mi sorge un dubbio che spero mi possiate chiarire, ma se i punti -2 e 2 non esistono, e me lo dice il mio campo di esistenza, io come mi comporto sul grafico ? Sia quello cartesiano che quello inteso come 'retta' dove raffiguro gli intervalli .

- Intersezione con asse x:

Sistema avente come espressioni la funzione e l'equazione dell'asse y mancante, pari a zero come valore.

$ y = 0 $

$ (sqrt(x)-3)/(x^2-4) = 0 -> x-3 = 0 -> x = 3 $

- Intersezione con asse y:

Sistema avente come espressioni la funzione e l'equazione dell'asse x mancante, pari a zero come valore.

$ x = 0 $

$ y = (sqrt(0)-3)/((0)^2 - 4) -> (-3)/(-4) $

Ottenendo così i due punti di intersezione:

$ A (3, 0) , B (0, (-3)/(-4)) $

Per le altre due funzioni ed il calcolo dei limiti di questa suddetta funzione preferirei aspettare la correzione di questa, sono sicuro di aver commesso diversi errori. Grazie a tutti per l'aiuto.

[wide87]

Ti consiglio di ripartire da zero facendo ad esmpio caso al fatto che, come giustamente scrivi, $sqrt(x)$ è definita solo per gli $x$ non negativi ovvero, sempre come giustamente scrivi, gli $x>=0$ e quindi NON E' VERO che il campo di esistenza è $mathbbR - {-2,2}$ bensì è $(mathbbR - {-2,2}) \cap [0,+infty]$ cioè $[0,+infty] - {2}$ o, se vuoi, $[0,2[ \cup ]2, +infty[$

[xMauri94]

Cioè la funzione non può esistere per numeri minori di 0, giusto?

[wide87]

Esatto.