Studio funzioni : flessi ?
Devo studiare il grafico della seguente funzione.
(x²+3)/(x²-3x)
Ora io ho trovato il dominio, i vari asintoti e minimo e massimo. Il problema ora lo riscontro quando vado a calcolare la derivata seconda della funzione. Calcolandola a me esce:
f''= x(x-3)(x³+3x²-9x+9) al numeratore e non riuscendolo a fattorizzarlo ulteriormente, non riesco a fare il grafico per trovare i flessi.
(x²+3)/(x²-3x)
Ora io ho trovato il dominio, i vari asintoti e minimo e massimo. Il problema ora lo riscontro quando vado a calcolare la derivata seconda della funzione. Calcolandola a me esce:
f''= x(x-3)(x³+3x²-9x+9) al numeratore e non riuscendolo a fattorizzarlo ulteriormente, non riesco a fare il grafico per trovare i flessi.
Risposte
"simonerusso64":
quando vado a calcolare la derivata seconda della funzione. Calcolandola a me esce:
f''= x(x-3)(x³+3x²-9x+9) al numeratore
mmmh secondo me viene $6x^3+18x^2-54x+54$ al numeratore
sisi, poichè poi bisogna ridurre con il denominatore. Ma il problema è che come faccio a trovare i flessi da quella derivata, visto che non posso scomporla in fattori ?
Ciao simonerusso64,
Beh, in realtà il grafico riesci a farlo anche senza dover trovare necessariamente i punti di flesso...
Comunque se $f(x) = frac{x^2+3}{x^2-3x} $ si ha:
$f'(x) = - frac{3(x^2 + 2x - 3)}{x^2(x - 3)^2} = - frac{3(x + 3)(x - 1)}{x^2(x - 3)^2}$
e $f'(x) \ge 0 $ per $- 3 \le x < 0 $ e per $0 < x \le 1 $, quindi la funzione proposta ha un minimo nel punto $(-3, 2/3) $ ed un massimo nel punto $(1, - 2) $. Dato che la funzione proposta ha anche un asintoto orizzontale di equazione $y = 1 $, il candidato punto di flesso deve trovarsi a sinistra dell'ascissa del punto di minimo $x = - 3 $, in modo che poi la funzione possa avvicinarsi sempre di più al proprio asintoto orizzontale. Per la derivata seconda si ha:
$f''(x) = frac{6(x^3 + 3x^2 - 9x + 9)}{x^3(x - 3)^3} $
Quindi si tratta di risolvere l'equazione $ x^3 + 3x^2 - 9x + 9 = 0 $. Non è difficile rendersi conto che tale equazione ha una sola soluzione reale, basta ad esempio scriverla nella forma
$ {(y = x^3),(y = -3x^2 + 9x - 9):}$
per capire bene che c'è una sola possibile intersezione fra la cubica di equazione $y = x^3 $ e la sempre negativa parabola di equazione $y = -3x^2 + 9x - 9 $ e si ha per $x = - (1 + root[3]{2})^2 < - 3 $
"simonerusso64":
non riesco a fare il grafico per trovare i flessi.
Beh, in realtà il grafico riesci a farlo anche senza dover trovare necessariamente i punti di flesso...
Comunque se $f(x) = frac{x^2+3}{x^2-3x} $ si ha:
$f'(x) = - frac{3(x^2 + 2x - 3)}{x^2(x - 3)^2} = - frac{3(x + 3)(x - 1)}{x^2(x - 3)^2}$
e $f'(x) \ge 0 $ per $- 3 \le x < 0 $ e per $0 < x \le 1 $, quindi la funzione proposta ha un minimo nel punto $(-3, 2/3) $ ed un massimo nel punto $(1, - 2) $. Dato che la funzione proposta ha anche un asintoto orizzontale di equazione $y = 1 $, il candidato punto di flesso deve trovarsi a sinistra dell'ascissa del punto di minimo $x = - 3 $, in modo che poi la funzione possa avvicinarsi sempre di più al proprio asintoto orizzontale. Per la derivata seconda si ha:
$f''(x) = frac{6(x^3 + 3x^2 - 9x + 9)}{x^3(x - 3)^3} $
Quindi si tratta di risolvere l'equazione $ x^3 + 3x^2 - 9x + 9 = 0 $. Non è difficile rendersi conto che tale equazione ha una sola soluzione reale, basta ad esempio scriverla nella forma
$ {(y = x^3),(y = -3x^2 + 9x - 9):}$
per capire bene che c'è una sola possibile intersezione fra la cubica di equazione $y = x^3 $ e la sempre negativa parabola di equazione $y = -3x^2 + 9x - 9 $ e si ha per $x = - (1 + root[3]{2})^2 < - 3 $
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