Studio funzioni

[nikki1]

nelle funzioni del tipo:
atanx-x/2 ad esempio, per sapere dove la funzione si annulla, si studia graficamente, volevo sapere se esiste un metodo alternativo

[david_e1]

Beh al limite si puo' tentare di risolvere l'equazione associata alla funzione... ma quasi sempre questo e' difficile (se non impossibile) lungo e, a volte, anche inutile. Altrimenti si procede graficamente o usando il teorema di Bolzano per localizzare alcuni zeri.

L'unica tecnica generale alternativa e' quella della "derivata logaritmica" che si applica su funzioni prolungate su tutto il piano complesso e che rende possibile il calcolo del numero di zeri in un dato insieme. Si tratta pero' di una tecnica in pratica inutilizzabile....

[Sk_Anonymous]

quote:

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Originally posted by nikki

nelle funzioni del tipo:
atanx-x/2 ad esempio, per sapere dove la funzione si annulla, si studia graficamente, volevo sapere se esiste un metodo alternativo

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Bisogna discernere da caso a caso e inventarsi qualcosa! Prendiamo il tuo esempio... Posto f(x) := arctg(x) - x/2, per ogni x \in R, dico che l'equazione f(x) = 0 possiede soltanto tre soluzioni reali. Chiaramente f(0) = 0. Siccome poi f(-x) = -f(x), se x \in R, possiamo limitarci per il seguito a supporre x > 0. Ebbene, se x \in ]0, +inf[: f'(x) = 1/(1+x^2) - 1/2, cosicché f(-) è crescente se 0 < x < 1; decrescente se x > 1. Ne seguita in particolare f(x) > 0, per 0 < x <= 1. Del resto, f(x) --> -inf, per x --> +inf, cosicché (per il teorema di esistenza degli zeri) è necessariamente determinato un certo x_0 > 1 tale che f(x_0) = 0. Visto inoltre lo studio preliminare circa la monotonia della funzione, x_0 è pure unico! Ne consegue per simmetria che gli unici zeri di f(-) sono localizzati alle ascisse x = 0 ed x = + x_0. Onde poi stabilire con un certo grado di precisione la posizione del punto (x_0, 0), si può ricorrere ad un qualsiasi metodo di approssimazione numerica (ad esempio, Newton-Raphson), osservando magari che dev'essere 1 < x_0 < 4.

Saluti,
Salvatore Tringali

EDIT: riveduto e corretto a seguito della segnalazione di camillo.

[Camillo]

Sei sicuro che l'equazione abbia una sola soluzione (cioè x=0)? io dico di no.
f'(0) = 1 non 1/2.

Camillo

[Sk_Anonymous]

Non c'è dubbio che tu abbia ragione, camillo... Come dire: 1 + 0 = 2, loool! Vabbe', in fondo è tutta una questione di Aritmetiche... Correggo appena posso.

[nikki1]

ad esempio come faccio a dimostrare che per x>1
2(x-1)/(x+1)<=lnx

[Sk_Anonymous]

quote:

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Originally posted by nikki

come faccio a dimostrare che per x > 1: 2(x-1)/(x+1)<=lnx

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Consideriamo la funzione f(-): [0, +inf[ --> R: t --> ln(1+t) - 2t/(2+t). Evidentemente f(0) = 0. Inoltre, per ogni t > 0: f'(t) = 1/(1+t) - 4/(2+t)^2 = (t*(t+4))/((1+t)*(2+t)^2) > 0. Ne segue che f(-) è monotòna (strettamente) crescente, e in particolare che f(t) > f(0) = 0, se t > 0. E allora ln(1+t) > 2t/(2+t), in ]0, +inf[, ovvero ln x > 2(x-1)/(x+1), supposto x > 1.

Saluti,
Salvatore Tringali

[nikki1]

Non ho capito bene, ad esempio
sqrt(x + 8) - ASIN((x - 4)/4)
la derivata è:
1/(2·sqrt(x + 8)) - 1/sqrt(x·(8 - x))
che è sempre <0
quindi è decrescente ma da questo non segue che sqrt(x + 8)

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