Studio funzione logaritmo con valore assoluto

[hoffman1]

Salve ragazzi sto avendo problemi con questa funzione

$ log base 2((|x^2-4|)/(x+8)) $

Il dominio dovrebbe essere da -8 < x< + inf tranne nei punti ( -8 , -2 , 2 )

[Brancaleone1]

Sì, il dominio è

$(-8,-2) cup (-2,2) cup (2,+oo)$

[pilloeffe]

Ciao hoffman,

La funzione proposta è la seguente:

$y = f(x) = log_2 ((|x^2-4|)/(x+8)) = log_2 ((|x - 2||x + 2|)/(x+8)) $

Tale funzione è definita per tutti i valori di $x \ne - 8 $ che non annullano l'argomento del logaritmo e per tutti i valori di $x$ tali che si abbia

$ (|x - 2||x + 2|)/(x+8) > 0 $

per cui il dominio di tale funzione è $D = (-8,-2) cup (-2,2) cup (2,+\infty) $

[hoffman1]

Io avrei dei problemi con lo studio del segno

[axpgn]

Il numeratore è sempre positivo (o nullo quando $x=+-2$), il denomatore è positivo per $x > -8$ ...

[hoffman1]

Allora. Facciamo le cose per grado così da capirci meglio . In teoria dovrei fare prima l'intersezione negli assi ma lo vediamo dopo. Per il segno dovrei in teoria fare
$ log base2 (|x^2-4|/(x+8))>0 $
Il che facendo i calcoli
$ logbase2(|x^2-4|) - logbase2(x+8)>0 $
$ logbase2(|x^2-4|) > logbase2(x+8) $
$ |x^2-4| > x+8 $
Ora io sinceramente per il valore assoluto avrei dei dubbi. Io li ho sempre affrontati così :
$ |x^2-4| > x+8{ ( x^2-4>x+8 . se x<-2 e x>2 ),( -x^2 +4 > x+8 .se -2

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[pilloeffe]

"hoffman":Allora. Facciamo le cose per grado così da capirci meglio .

Mi hai tolto le parole di bocca...
Una cosa è il dominio di una funzione, tutt'altra è lo studio del suo segno. La disequazione col modulo che hai scritto per lo studio del segno però va "corretta" proprio tenendo conto del dominio $D$ della funzione, per cui si ha:

$|x^2-4| > x+8 \iff {( x^2-4>x+8 \text{ se } - 8 < x < -2 vv x>2 ),(-x^2 + 4 > x + 8 \text{ se } -2 < x < 2 ):} $