Studio funzione integrale
Data la funzione integrale: $ F(x)=int_(1)^(x) (log|t+2|)/(t^(1/3)sqrt(1+t+t^2))dt $
Devo disegnare un grafico di questa funzione, a meno di concavità e segno. Oltre al fatto che ha una cuspide verso il basso non troppo sotto l'origine sull'asse y, due flessi a tangente orizzontale per x<0 (uno in x=-3 e l'altro in x=-1) e asintoti orizzontali sia a destra che a sinistra, maggiori di 0, -dovrebbe avere anche dei flessi a tangente obliqua, almeno uno tra i due flessi a tangente orizzontale- mi interessa sapere, per fare decentemente il disegno, quale dei due asintoti orizzontali è il più alto. Ho pensato che per t grande in valore assoluto si ha: $|(log|t+2|)/(t^(1/3)sqrt(1-t+t^2))|>(log|t+2|)/(t^(1/3)sqrt(1+t+t^2))$, in quanto, per via dell'unico segno meno che cambia, il denominatore della funzione mentre tende a meno infinito è minore. Da questo dedurrei che l'asintoto orizzontale verso sinistra è più alto di quello a destra. Secondo voi è giusto il ragionamento che ho fatto?
Devo disegnare un grafico di questa funzione, a meno di concavità e segno. Oltre al fatto che ha una cuspide verso il basso non troppo sotto l'origine sull'asse y, due flessi a tangente orizzontale per x<0 (uno in x=-3 e l'altro in x=-1) e asintoti orizzontali sia a destra che a sinistra, maggiori di 0, -dovrebbe avere anche dei flessi a tangente obliqua, almeno uno tra i due flessi a tangente orizzontale- mi interessa sapere, per fare decentemente il disegno, quale dei due asintoti orizzontali è il più alto. Ho pensato che per t grande in valore assoluto si ha: $|(log|t+2|)/(t^(1/3)sqrt(1-t+t^2))|>(log|t+2|)/(t^(1/3)sqrt(1+t+t^2))$, in quanto, per via dell'unico segno meno che cambia, il denominatore della funzione mentre tende a meno infinito è minore. Da questo dedurrei che l'asintoto orizzontale verso sinistra è più alto di quello a destra. Secondo voi è giusto il ragionamento che ho fatto?
Risposte
Mi sembra che per $x->0$ l'integrale improprio non converga, perchè l'integranda va come $t^{-4/3}$, che integrato va come $t^{-1/3}$.
Sono abbastanza sicuro del contrario, infatti, se $t->0$, $f(t) ~ log(2)/t^(1/3)$, che va a più infinito per t positivi e a meno infinito per t negativi; e ovviamente $ int_(0)^(1) f(t)dt $ e $ int_(-1)^(0) f(t)dt $ convergono.
Ora, tornando al mio problema?
Ora, tornando al mio problema?
Mi correggo da solo, ho sbagliato lo studio della funzione integranda, che è positiva tra -1 e -3; per cui l'integrale avrà un minimo e un massimo relativi in -3 e -1, e poi il solito asintoto. Questa volta però sono più convinto che sia più basso di quello a destra, perchè guardando bene il grafico dell'integranda sembra che l'area positiva sottesa alla funzione tra -3 e -1 (che diventa negativa visto l'estremo di integrazione 1), fa sì che l'integrale converga (a meno infinto) ad un numero minore, addirittura potrebbe essere minore di 0. Però non ne sono sicurissimo, qualcuno che mi dà una conferma?
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