Studio Funzione integrale.
Salve a tutti raga potreste aiutarmi a studiare la seguente funzione integrale.
$int_(e)^(x)sqrt(t)/(1+lnt)dt$ io ho già calcolato il dominio della funzione integranda che risulta essere:$]0,1/e1/e,+\infty[$.Ora se il mio ragionamento nn è sbagliato se fisso un $x>e$ nn ci sn problemi; la funzione è continua e quindi integrabile secondo Riemann.Ora devo verificare se $1/e$ appartiene al dominio della funzione integrale.E' corretto fino a qua il mio ragionamento?
$int_(e)^(x)sqrt(t)/(1+lnt)dt$ io ho già calcolato il dominio della funzione integranda che risulta essere:$]0,1/e1/e,+\infty[$.Ora se il mio ragionamento nn è sbagliato se fisso un $x>e$ nn ci sn problemi; la funzione è continua e quindi integrabile secondo Riemann.Ora devo verificare se $1/e$ appartiene al dominio della funzione integrale.E' corretto fino a qua il mio ragionamento?
Risposte
Sisi... Continua pure (serve uno studio della sommabilità intorno a $1/("e")$ per andare avanti).
P.S.: Sei sicuro che l'integrando non possa essere prolungato su $0$?
P.S.: Sei sicuro che l'integrando non possa essere prolungato su $0$?
Praticamente ora dovrei vedere se la funzione integranda risulta essere sommabile in un intorno destro di $1/e$ quindi devo utlizzare sempre il solito teorema e verificare il seguente limite:
$lim_(t->(1/e)^+) sqrt(t)/(1+lnt)(t-1/e)^\alpha$ che posso anche scrivere come $lim_(t->(1/e)^+)(sqrt(t))((t-1/e)^\alpha)/(1+lnt)$ ora il primo fattore tende ad una costante e nn mi interessa.Il problema sta nel secondo fattore in quanto affinche la funzione si asommabile occorre che il secondo fattore sia 0 oppure un numero>0. e per un $\alpha<1$.Come posso procedere?
$lim_(t->(1/e)^+) sqrt(t)/(1+lnt)(t-1/e)^\alpha$ che posso anche scrivere come $lim_(t->(1/e)^+)(sqrt(t))((t-1/e)^\alpha)/(1+lnt)$ ora il primo fattore tende ad una costante e nn mi interessa.Il problema sta nel secondo fattore in quanto affinche la funzione si asommabile occorre che il secondo fattore sia 0 oppure un numero>0. e per un $\alpha<1$.Come posso procedere?
Come giustamente dici, del fattore $\sqrt(t)$ puoi farne a meno (infatti tale fattore è continuo e non nullo in $1/e$, quindi non dà nessun contributo all'infinito).
Ora, mutatis mutandis, come nell'altro thread occorre e basta stabilire l'ordine dell'infinito $1/(1+log t)$ per sapere se la funzione è sommabile o meno a destra di $1/e$.
Per fare ciò, facciamo il cambiamento di variabile $t=tau+1/e$ e calcoliamo l'ordine dell'infinito $1/(1+log(tau +1/e))$ per $tau=0$: per le proprietà del logaritmo abbiamo:
$1+log(tau+1/e)=1+log(e tau+1)-log e=log(e tau+1)$
e dal limite fondamentale del logaritmo, $lim_(y\to 0) (log(1+y))/y=1$, traiamo:
$lim_(tau\to 0) (log(e tau+1))/tau=e$
pertanto la funzione $1+log(tau+1/e)$ ha uno zero d'ordine $1$ in $tau=0$. Ciò importa che la funzione $1+log t$ ha uno zero d'ordine $1$ in $t=1/e$, quindi la $1/(1+logt)$ è un infinito d'ordine $1$ in $t=1/e$.
A te la conclusione.
Ora, mutatis mutandis, come nell'altro thread occorre e basta stabilire l'ordine dell'infinito $1/(1+log t)$ per sapere se la funzione è sommabile o meno a destra di $1/e$.
Per fare ciò, facciamo il cambiamento di variabile $t=tau+1/e$ e calcoliamo l'ordine dell'infinito $1/(1+log(tau +1/e))$ per $tau=0$: per le proprietà del logaritmo abbiamo:
$1+log(tau+1/e)=1+log(e tau+1)-log e=log(e tau+1)$
e dal limite fondamentale del logaritmo, $lim_(y\to 0) (log(1+y))/y=1$, traiamo:
$lim_(tau\to 0) (log(e tau+1))/tau=e$
pertanto la funzione $1+log(tau+1/e)$ ha uno zero d'ordine $1$ in $tau=0$. Ciò importa che la funzione $1+log t$ ha uno zero d'ordine $1$ in $t=1/e$, quindi la $1/(1+logt)$ è un infinito d'ordine $1$ in $t=1/e$.
A te la conclusione.
Allora Gugo io per stabilire l'ordine dell'infinito $1/(1+lnt)$ per $t->1/e$ ho proceduto così:$(1+ln(t))/(t-1/e)^\alpha$ se questo limite esiste finito allora $\alpha$ sarà l'ordine dell'infinito che sto cercando.(Ho utilizzato la definizione).
$
quindi ho scritto:
$lim_(t->(1/e)^+) ln(et)/(t-1/e)^\alpha$ ora pongo $et=y+1$ ottengo $lim_(y->0^+) ln(y+1)/(y/e)^\alpha$ considero ora $\alpha=1$ ottengo:
$lim_(y->0^+) eln(y+1)/y=e$ quindi si ha ordine $1$ ora posso concludere che al numeratore ho un infinito di ordine $\beta<1$ e al denominatore un infinito di ordine $1$ quindi la funzione risulta essere nn sommabile in un intorno destro di $1/e$.Giusto?
$
quindi ho scritto:
$lim_(t->(1/e)^+) ln(et)/(t-1/e)^\alpha$ ora pongo $et=y+1$ ottengo $lim_(y->0^+) ln(y+1)/(y/e)^\alpha$ considero ora $\alpha=1$ ottengo:
$lim_(y->0^+) eln(y+1)/y=e$ quindi si ha ordine $1$ ora posso concludere che al numeratore ho un infinito di ordine $\beta<1$ e al denominatore un infinito di ordine $1$ quindi la funzione risulta essere nn sommabile in un intorno destro di $1/e$.Giusto?
"identikit_man":
Allora Gugo io per stabilire l'ordine dell'infinito $1/(1+lnt)$ per $t->1/e$ ho proceduto così:$(1+ln(t))/(t-1/e)^\alpha$ se questo limite esiste finito allora $\alpha$ sarà l'ordine dell'infinito che sto cercando.(Ho utilizzato la definizione).
$
quindi ho scritto:
$lim_(t->(1/e)^+) ln(et)/(t-1/e)^\alpha$ ora pongo $et=y+1$ ottengo $lim_(y->0^+) ln(y+1)/(y/e)^\alpha$ considero ora $\alpha=1$ ottengo:
$lim_(y->0^+) eln(y+1)/y=e$ quindi si ha ordine $1$
Ok... Praticamente è lo stesso ragionamento, fatto in modo diverso.
Hai così stabilito che l'esponente "giusto" è $alpha=1$, ossia che l'integrando è un infinito d'ordine $1$ in $1/e$, e perciò questa parte:
"identikit_man":
ora posso concludere che al numeratore ho un infinito di ordine $\beta<1$ e al denominatore un infinito di ordine $1$[...]
non è molto utile.
Tuttavia la conclusione:
"identikit_man":
quindi la funzione risulta essere nn sommabile in un intorno destro di $1/e$.Giusto?
è giusta.
Ok grazie 1000; devo dire ke su questo forum siete troppo bravi; nn tanto perchè riuscite a risolvere gli esercizi; ma perchè riuscite a far capire alle persone come fare.cmq da questo finale posso anke concludere che in $1/e$ la funzione integrale presenta un asintoto verticale.Giusto?
Esatto.
E puoi anche dedurre che non si può prolungare a sinistra di $1/e$, nonostante l'integrando sia definito anche per $0<= x<1/e$.
E puoi anche dedurre che non si può prolungare a sinistra di $1/e$, nonostante l'integrando sia definito anche per $0<= x<1/e$.
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