Studio funzione $f(x)=e^(-x)-e^(-3x)$

[BoG3]

Caio ragazzi, ho un problema con lo Studio della funzione $f(x)=e^(-x)-e^(-3x)$
Comincio col dire che esiste $AAx\inRR$.
Studio l'intersezione con gli assi $X$ e $Y$:

$e^(-x)-e^(-3x) = 0$ solo quando $e^(-x) =e^(-3x)$ il che equivale a quando $-x = -3x$ ossia: interseca l'asse $X$ in $x=0$

$e^0-e^0 = y$ quidni $y=0$, interseca l'asse $Y $ nel punto $x=0$.

ora studio quando $f(x) > 0$:

$e^(-x)-e^(-3x) > 0$
$e^(-x) > e^(-3x)$
$-x > -3x$
$x<3x \iff x>0$

Quindi avro' una funzione positiva per $x>0$, mentre in $x=0$ passa per l'origine e poi diventa negativa.

Studio i limiti ai due estremi:

$lim_(x\to-\infty)e^(-x)-e^(-3x) = lim_(x\to-\infty)e^(-x)(1-e^3) = e^(-(-\infty))(1-e^3)=e^\infty(1-e^3) = -\infty$ poiche' $1-e^3$ è negativo.

$lim_(x\to+\infty)e^(-x)-e^(-3x) = lim_(x\to+\infty)e^(-x) - lim_(x\to+\infty)e^(-3x) = e^(-\infty) - e^(-3\infty) = 0 $

Per vedere se ha dei massimi o minimi la derivo:

$f'(x)=-e^-x-(-3e^(-3x))=f'(x)=-e^-x+3e^(-3x)$

Controllo dove $f'(x)=0$:

$-e^-x+3e^(-3x)=0$

Qua ho dei dubbi: posso scriverla come $3e^(-3x)=e^-x$ ed applicare poi il $ln$ da entrambe le parti?

$ln(3e^(-3x))=ln(e^-x)$

$-3xln(3e)=-xln(e)$ e poi dire $ln(e)=1$, poi usare le proprieta' dei logaritmi su $ln(3x)$ ed ottenere:

$-3xln(3)*1=x*1$

$-3xln(3)-x=0$

$-x(3ln(3)-1)=0$

Io mi blocco qua! Credo di aver preso la strada sbagliata partendo da $-e^-x+3e^(-3x)=0$, poi $3e^(-3x)=e^-x$ e poi non so se posso fare il discorso di prima, controllare solo gli esponenti perchè ho un $3$ davanti alla $e$

[Demostene92]

"BoG":
Studio i limiti ai due estremi:

$lim_(x\to-\infty)e^(-x)-e^(-3x) = lim_(x\to-\infty)e^(-x)(1-e^3) = e^(-(-\infty))(1-e^3)=e^\infty(1-e^3) = -\infty$ poiche' $1-e^3$ è negativo.

C'è un problema con il tuo raccoglimento, sebbene il risultato finale sia corretto; infatti:

$lim_(x\to-\infty)e^(-x)-e^(-3x) = lim_(x\to-\infty)e^(-x)(1-e^(-2x))=-\infty$.

Questo perché per $x\to-\infty$, $e^-x$ è trascurabile se confrontato con il contributo di $e^(-3x)$; complessivamente quindi si ottiene $-\infty$.

"BoG":
Controllo dove $f'(x)=0$:

$-e^-x+3e^(-3x)=0$

Qua ho dei dubbi: posso scriverla come $3e^(-3x)=e^-x$ ed applicare poi il $ln$ da entrambe le parti?

Bè, semplicemente $3e^(-3x)=e^(-x)$ non ha valori di $x$ per cui risulti verificata. D'altra parte si tratta di due esponenziali, uno dei quali risulta moltiplicato per $3$, quindi siamo sicuri che in $x=0$ non si intersecano e inoltre considerando:

$lim_(x\to\infty)e^(-3x)/e^(-x)=0$,

segue che $e^(-x)$ è un infinitesimo di ordine superiore a $e^(-3x)$, quindi non ci potrà essere intersezione.

Per quanto riguarda invece lo studio del segno, ponendo:

$3e^(-3x)>e^(-x)$,

anche in virtù delle precedenti premesse, la disequazione risulta verificata $AAx\inRR$, di conseguenza $f(x)$ risulta crescente in tutto $RR$ e non presenta punti di massimo o di minimo.

[chiaraotta1]

Mi sembra che
$f'(x)=-e^-x-(-3e^(-3x))=3e^(-3x)-e^-x=3/e^(3x)-1/e^x=(3-e^(2x))/e^(3x)$.
Da cui
$f'(x)=0$ se
$(3-e^(2x))/e^(3x)=0->3=e^(2x)->2x=ln3->x=1/2ln3$
e
$f'(x)>0$ se
$(3-e^(2x))/e^(3x)>0->3>e^(2x)->2xx<1/2ln3$.

Poiché
$f(x)=e^(-x)-e^(-3x)=1/e^x-1/e^(3x)=(e^(2x)-1)/e^(3x)$,
allora
$f(1/2ln3)=(3-1)/(3sqrt(3))=2/9sqrt(3)$.

La funzione ha un massimo in $(1/2ln3,2/9sqrt(3))$.

[BoG3]

Grazie chiaraotta, io non ho pensato a riscrivere la funzione in quella forma!
Da uno dei tuoi passaggi deduco che quello che chiedevo qua si puo' fare:

"BoG":
$-e^-x+3e^(-3x)=0$

Qua ho dei dubbi: posso scriverla come $3e^(-3x)=e^-x$ ed applicare poi il $ln$ da entrambe le parti?

$ln(3e^(-3x))=ln(e^-x)$

$-3xln(3e)=-xln(e)$ e poi dire $ln(e)=1$, poi usare le proprieta' dei logaritmi su $ln(3x)$ ed ottenere:

"Demostene92":[quote="BoG"]
Studio i limiti ai due estremi:

$lim_(x\to-\infty)e^(-x)-e^(-3x) = lim_(x\to-\infty)e^(-x)(1-e^3) = e^(-(-\infty))(1-e^3)=e^\infty(1-e^3) = -\infty$ poiche' $1-e^3$ è negativo.

C'è un problema con il tuo raccoglimento, sebbene il risultato finale sia corretto; infatti:

$lim_(x\to-\infty)e^(-x)-e^(-3x) = lim_(x\to-\infty)e^(-x)(1-e^(-2x))=-\infty$.
[/quote]
Si, e' vero, ho sbagliato a copiare dai fogli.
Grazie a tutti!

[chiaraotta1]

"BoG":
$-e^-x+3e^(-3x)=0$

Qua ho dei dubbi: posso scriverla come $3e^(-3x)=e^-x$ ed applicare poi il $ln$ da entrambe le parti?

$ln(3e^(-3x))=ln(e^-x)$

$-3xln(3e)=-xln(e)$ e poi dire $ln(e)=1$......

Da
$3e^(-3x)=e^-x$
conviene semplificare prima di prendere i logaritmi.
Moltiplicando ambedue i membri dell'equazione per $e^x$ si ottiene
$3e^(-2x)=1->3/e^(2x)=1->e^(2x)=3$.
A questo punto
$ln(e^(2x))=ln(3)->2xln(e)=ln(3)->2x=ln(3)->x=1/2ln(3)$.

Il passaggio che fai
$ln(3e^(-3x))=ln(e^-x)->-3xln(3e)=-xln(e)$
è sbagliato, perché $-3x$ è l'esponente solo di $e$ e non anche di $3$.
Caso mai
$ln(3e^(-3x))=ln(e^-x)->ln(3)+ln(e^(-3x))=ln(e^-x)->$
$ln(3)-3xln(e)=-xln(e)->ln(3)-3x=-x->ln(3)=2x->$
$x=1/2ln(3)$, come già ottenuto più semplicemente.

[BoG3]

"chiaraotta":[quote="BoG"]
Il passaggio che fai
$ln(3e^(-3x))=ln(e^-x)->-3xln(3e)=-xln(e)$
è sbagliato, perché $-3x$ è l'esponente solo di $e$ e non anche di $3$.
Caso mai
$ln(3e^(-3x))=ln(e^-x)->ln(3)+ln(e^(-3x))=ln(e^-x)->$
$ln(3)-3xln(e)=-xln(e)->ln(3)-3x=-x->ln(3)=2x->$
$x=1/2ln(3)$, come già ottenuto più semplicemente.

[/quote]

sì, è quello che volevo scrivere ma nel copiare in fretta dai fogli ho sbagliato. grazie