Studio funzione di variabile complessa
Salve a tutti ragazzi!
Purtroppo ho ancora molte difficoltà nel risolvere esercizi riguardanti i numeri complessi, quindi pensavo provare a svolgerne uno.
Allora l'esercizio è il seguente:
Data $f(z)=e^(z^2-1)$ determinare $Ref(z)$,$Imf(z)$,$|f(z)|$ e se è limitata.
Mi sono mosso nel seguente modo:
Considero $z=x+iy$ quindi ottengo
$f(x+iy)=e^((x+iy)^2-1)=e^(x^2-y^2+2xyi-1)$
Pensavo a questo punto di studiare separatamente
$e^(x^2-y^2-1)$ e $e^(2xyi)$
*$e^(x^2-y^2-1)$
Direi che questo termine appartiene a $R$, quindi non credo ci sia più niente da fare per esso.
*$e^(2xyi)$
Qui invece credo che qualche osservazione in più sia necessaria.
Portando in forma trigonometrica ottengo:
$e^(2xyi)=cos\arg(2xy)+isin\arg(2xy)$
Ora ricomponendo tutti i pezzi affermerei che:
$f(x+iy)=e^(x^2-y^2-1)(cos\arg(2xy)+isin\arg(2xy))$
Da cui ricaveri che:
$Ref(z)=e^(x^2-y^2-1)cos\arg(2xy)$
$Imf(z)=e^(x^2-y^2-1)(sin\arg(2xy)$
Sinceramente questo è un risultato che mi lascia profondamente perplesso.
Per il calcolo del modulo dovrei risolvere $sqrt(Re^2f(z)+Im^2f(z))$ oppure $sqrt(f(z)\barf(z))$, ma sinceramente, considerando le espressioni che ho ottenuto, credo di essere completamente fuori strada.
Ora per stabilire se f è limitata mi pare che debba studiare il modulo di f e vedere se è limitato o no.
Qui le domande che potrei porre sono moltissime, ma mi limito solo alla seguenti:
1)Effettivamente sono completamente fuori strada?
2)E' corretto il discorso che ho fatto sulla "limitatezza" di f?
Come sempre ringrazio in anticipo tutti per la disponibilità e, visto che molto probabilmente ho sparato una miriade di boiate, per la pazienza.
Purtroppo ho ancora molte difficoltà nel risolvere esercizi riguardanti i numeri complessi, quindi pensavo provare a svolgerne uno.
Allora l'esercizio è il seguente:
Data $f(z)=e^(z^2-1)$ determinare $Ref(z)$,$Imf(z)$,$|f(z)|$ e se è limitata.
Mi sono mosso nel seguente modo:
Considero $z=x+iy$ quindi ottengo
$f(x+iy)=e^((x+iy)^2-1)=e^(x^2-y^2+2xyi-1)$
Pensavo a questo punto di studiare separatamente
$e^(x^2-y^2-1)$ e $e^(2xyi)$
*$e^(x^2-y^2-1)$
Direi che questo termine appartiene a $R$, quindi non credo ci sia più niente da fare per esso.
*$e^(2xyi)$
Qui invece credo che qualche osservazione in più sia necessaria.
Portando in forma trigonometrica ottengo:
$e^(2xyi)=cos\arg(2xy)+isin\arg(2xy)$
Ora ricomponendo tutti i pezzi affermerei che:
$f(x+iy)=e^(x^2-y^2-1)(cos\arg(2xy)+isin\arg(2xy))$
Da cui ricaveri che:
$Ref(z)=e^(x^2-y^2-1)cos\arg(2xy)$
$Imf(z)=e^(x^2-y^2-1)(sin\arg(2xy)$
Sinceramente questo è un risultato che mi lascia profondamente perplesso.
Per il calcolo del modulo dovrei risolvere $sqrt(Re^2f(z)+Im^2f(z))$ oppure $sqrt(f(z)\barf(z))$, ma sinceramente, considerando le espressioni che ho ottenuto, credo di essere completamente fuori strada.
Ora per stabilire se f è limitata mi pare che debba studiare il modulo di f e vedere se è limitato o no.
Qui le domande che potrei porre sono moltissime, ma mi limito solo alla seguenti:
1)Effettivamente sono completamente fuori strada?
2)E' corretto il discorso che ho fatto sulla "limitatezza" di f?
Come sempre ringrazio in anticipo tutti per la disponibilità e, visto che molto probabilmente ho sparato una miriade di boiate, per la pazienza.
Risposte
$e^(2xyi)=cos\arg(2xy)+isin\arg(2xy)$
Perchè quell' "arg" ?
Si scrive $e^(2xyi)=cos(2xy)+isin(2xy)$, fine.
$2xy$ è un numero che diventa un angolo e si calcola il coseno e/o il seno. Ad es. se $x=10$, $y=10\pi$, $cos(100\pi)= 1$
A parte che anche così hai il risultato giusto, più semplicemente
[tex]|e^z|=e^{\Re (z)}[/tex]
cioè prendi la parte reale di z, e la usi come esponente di e. Tutto qui.
Perchè quell' "arg" ?
Si scrive $e^(2xyi)=cos(2xy)+isin(2xy)$, fine.
$2xy$ è un numero che diventa un angolo e si calcola il coseno e/o il seno. Ad es. se $x=10$, $y=10\pi$, $cos(100\pi)= 1$
Per il calcolo del modulo dovrei risolvere $sqrt(Re^2f(z)+Im^2f(z))$ oppure $sqrt(f(z)\barf(z))$, ma sinceramente,
A parte che anche così hai il risultato giusto, più semplicemente
[tex]|e^z|=e^{\Re (z)}[/tex]
cioè prendi la parte reale di z, e la usi come esponente di e. Tutto qui.
Grazie mille Quinzio!
Devo prendere ancora un po di pratica con questo tipo di esercizi!
Comunque come faccio a stabilire se f è limitata?
Devo prendere ancora un po di pratica con questo tipo di esercizi!
Comunque come faccio a stabilire se f è limitata?
"Gost91":
Grazie mille Quinzio!
Devo prendere ancora un po di pratica con questo tipo di esercizi!
Comunque come faccio a stabilire se f è limitata?
Equivale a rispondere se $e^a$, $a \in RR$ è limitata.
Grazie ancora quinzio, però purtroppo quest'ultima è una domanda a cui non so rispondere.
Ho provato a ricercare tra gli appunti qualsiasi tipo di informazione soddisfacente al riguardo ma non ho trovato niente (neanche sul testo di riferimento!).
Ora per stabilire se $e^(x^2-y^2-1)$ è limitata (credo superiormente, in quanto mi pare che si debba verificare l'esistenza di una circonferenza di raggio finito che contenga interamente $e^(x^2-y^2-1)$), dovrei verificare l'esistenza di un valore $\alpha$ tale che $\alpha>e^(x^2-y^2-1)$ per ogni x,y $\inRR$.
Quest'ultime sono tutte considerazioni che faccio in base a fievoli ricordi di un ricevimento che feci con la professoressa, quindi prima di proseguire preferirei avere qualche dritta al riguardo, anche perchè è la prima volta che mi trovo a risolvere un esercizio del genere...
Ho provato a ricercare tra gli appunti qualsiasi tipo di informazione soddisfacente al riguardo ma non ho trovato niente (neanche sul testo di riferimento!).
Ora per stabilire se $e^(x^2-y^2-1)$ è limitata (credo superiormente, in quanto mi pare che si debba verificare l'esistenza di una circonferenza di raggio finito che contenga interamente $e^(x^2-y^2-1)$), dovrei verificare l'esistenza di un valore $\alpha$ tale che $\alpha>e^(x^2-y^2-1)$ per ogni x,y $\inRR$.
Quest'ultime sono tutte considerazioni che faccio in base a fievoli ricordi di un ricevimento che feci con la professoressa, quindi prima di proseguire preferirei avere qualche dritta al riguardo, anche perchè è la prima volta che mi trovo a risolvere un esercizio del genere...
Guarda che è molto più facile di quello che pensi.
Lascia perdere un attimo raggi, circonferenze, fievoli ricordi di ricevimenti....
Facciamo un gioco, io ti dico: "Eh, guarda che quella funzione è limitata ! Non supera mai 1 miliardo"
Arriva subito uno che mi dice: "Cazzate, ecco qua pronti due valori di x e y per cui quella funzione $e^{x^2-y^2-1}$ vale più di un miliardo."
Riesci a trovare alcuni di questi due numeri ? Ce ne sono infiniti, ma basta 1 coppia. ... anche 2 coppie non guastano però
Lascia perdere un attimo raggi, circonferenze, fievoli ricordi di ricevimenti....
Facciamo un gioco, io ti dico: "Eh, guarda che quella funzione è limitata ! Non supera mai 1 miliardo"
Arriva subito uno che mi dice: "Cazzate, ecco qua pronti due valori di x e y per cui quella funzione $e^{x^2-y^2-1}$ vale più di un miliardo."
Riesci a trovare alcuni di questi due numeri ? Ce ne sono infiniti, ma basta 1 coppia. ... anche 2 coppie non guastano però
Ok perfetto, grazie mille! 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo