Studio funzione di due variabili
Salve! Chiedo ancora il vostro aiuto per la risoluzione di questo esercizio, per cui non so proprio da dove cominciare. Mi bastano anche solo delle linee guida o dei suggerimenti affinché io possa riuscire a risolverlo.
Il testo è il seguente:
Si stabilisca se la funzione:
$ f(x,y) = 1/(sqrt(x^2+y^2))int_(0)^(sqrt(x^2+y^2)) |1-lnt|/(lnt)^2*t^(-1/2) dx $
sia limitata nel suo insieme di definizione.
Vi ringrazio sempre per il vostro aiuto.
Il testo è il seguente:
Si stabilisca se la funzione:
$ f(x,y) = 1/(sqrt(x^2+y^2))int_(0)^(sqrt(x^2+y^2)) |1-lnt|/(lnt)^2*t^(-1/2) dx $
sia limitata nel suo insieme di definizione.
Vi ringrazio sempre per il vostro aiuto.
Risposte
Ho pensato di definire anzitutto il dominio della funzione.
Ho definito il dominio della funzione integranda, che risulta essere:
$ D = {t in R : t in (0,1)uu (1,+oo )} $ .
Ora, a quanto ho letto qui su matematicamente, per definire il dominio della funzione integrale, devo considerare che esso coincide con il più grande intervallo contenente il punto 0 (punto iniziale della funzione integrale) in cui l'integranda risulta integrabile.
Quindi: $ (0,1)sube DomF $.
Devo provare ad estendere il dominio di F a sinistra di 0 e a destra di 1. Calcolando i limiti, vedo che la funzione integrale presenta una discontinuità di 2^ specie in 1. Il limite destro e sinistro a zero non riesco invece a calcolarlo!
Supposto che stia seguendo la strada giusta, come devo procedere adesso?
Ho definito il dominio della funzione integranda, che risulta essere:
$ D = {t in R : t in (0,1)uu (1,+oo )} $ .
Ora, a quanto ho letto qui su matematicamente, per definire il dominio della funzione integrale, devo considerare che esso coincide con il più grande intervallo contenente il punto 0 (punto iniziale della funzione integrale) in cui l'integranda risulta integrabile.
Quindi: $ (0,1)sube DomF $.
Devo provare ad estendere il dominio di F a sinistra di 0 e a destra di 1. Calcolando i limiti, vedo che la funzione integrale presenta una discontinuità di 2^ specie in 1. Il limite destro e sinistro a zero non riesco invece a calcolarlo!
Supposto che stia seguendo la strada giusta, come devo procedere adesso?
"salt21":
Devo provare ad estendere il dominio di F a sinistra di 0 e a destra di 1. Calcolando i limiti, vedo che la funzione integrale presenta una discontinuità di 2^ specie in 1. Il limite destro e sinistro a zero non riesco invece a calcolarlo!
Supposto che stia seguendo la strada giusta, come devo procedere adesso?
Se hai già visto che $F$ tende a $\infty$ quando ti avvicini a $1$ hai praticamente finito, perché allora $f(x,y)=1/{sqrt{x^2+y^2}} F(sqrt{x^2+y^2})$ tende a $\infty$ ogni volta che $(x,y)$ tende a un punto che dista $1$ dall'origine, quindi $f$ non può essere limitata.
Nota comunque che il limite sinistro di $F$ a zero non ha senso (perché?)
Giusto, che stupida che sono!!
Comunque non ha senso perché l'estremo inferiore dell'integrale è 0, quindi al piú posso far tendere la variabile a 0 da destra, corretto?
Quindi il procedimento che ho seguito per studiare l'eventuale limitatezza della funzione va bene?
Comunque non ha senso perché l'estremo inferiore dell'integrale è 0, quindi al piú posso far tendere la variabile a 0 da destra, corretto?
Quindi il procedimento che ho seguito per studiare l'eventuale limitatezza della funzione va bene?
"salt21":
Comunque non ha senso perché l'estremo inferiore dell'integrale è 0, quindi al piú posso far tendere la variabile a 0 da destra, corretto?
No, un integrale può esistere anche se il secondo estremo è minore del primo, e in generale scambiare gli estremi fa cambiare segno all'integrale (piuttosto che "estremo inferiore" ed "estremo superiore" sarebbe meglio dire "estremo di partenza" ed "estremo di arrivo"). Il problema è che integrando da $0$ a un numero negativo avresti un intervallo in cui la funzione ${|1-ln t|}/(ln t)^2 t^{-1/2}$ non è mai definita. Resta comunque il fatto che, in questo caso particolare, l'esistenza (ed eventualmente il valore) di $\lim_{z->0^-} F(z)$ non ti interessa, dal momento che ti basta studiare $F(z)$ nell'immagine della funzione $z=sqrt{x^2+y^2}$, che non assume mai valori negativi.
"salt21":
Quindi il procedimento che ho seguito per studiare l'eventuale limitatezza della funzione va bene?
Se hai verificato che $\int_0^a {|1-ln t|}/(ln t)^2 t^{-1/2} dt$ converge per valori "piccoli" di $a$, direi che è tutto giusto..!
Calcolando i limiti, vedo che la funzione integrale presenta una discontinuità di 2^ specie in 1.
Scusa!!! Volevo scrivere funzione integranda
Quindi non ho provato che la funzione integrale sia illimitata 
Come posso provare la convergenza o divergenza di un integrale generalizzato?Per quanto riguarda la questione del limite sinistro a zero, adesso ho capito, grazie per l'appunto.
Grazie per l'aiuto e scusa ancora
"salt21":
Come posso provare la convergenza o divergenza di un integrale generalizzato?
Di solito si cercano delle stime asintotiche. In questo caso una possibile soluzione è:
1) Per $ \int_0^a {|1-ln t|}/(ln t)^2 t^{-1/2} dt $, con $a<1$, osserviamo che la frazione con il logaritmo tende a $0$, quindi in un intorno sufficientemente piccolo di $0$ possiamo maggiorarla con una costante positiva, ottenendo
$ \int_0^a {|1-ln t|}/(ln t)^2 t^{-1/2} dt <= \int_0^a c/sqrt{t} dt =2c sqrt{a}$
Da qui si conclude che la funzione integrale è definita in $(0,1)$.
2) Per il limite in $1$ abbiamo $\int_0^1 {|1-ln t|}/(ln t)^2 t^{-1/2} dt>\int_{1/2}^1 {|1-ln t|}/(ln t)^2 t^{-1/2} dt $, e osserviamo che per $t->1$ la funzione integranda è asintoticamente equivalente a $1/(t-1)^2$ (cioè il rapporto delle due funzioni tende a $1$), quindi possiamo ricondurci a $\int_{1/2}^1 1/(t-1)^2dt $, che diverge.
Ok per il primo caso. Per quanto riguarda il secondo, a quanto ho capito hai considerato che:
$ |1-lnt|/(lnt)^2*1/sqrt(t)=|1-lnt|/(lnt)^2*1/sqrt(t)*(1-t)^2/(1-t)^2 $ , che tende asintoticamente a:
$ 1/sqrt(t)*1/(1-t)^2 $ per $ trarr 1 $ . Perché non hai scritto il fattore $ 1/sqrt(t) $ ? Sono molto confusa
$ |1-lnt|/(lnt)^2*1/sqrt(t)=|1-lnt|/(lnt)^2*1/sqrt(t)*(1-t)^2/(1-t)^2 $ , che tende asintoticamente a:
$ 1/sqrt(t)*1/(1-t)^2 $ per $ trarr 1 $ . Perché non hai scritto il fattore $ 1/sqrt(t) $ ? Sono molto confusa
Per definizione di equivalenza asintotica ottieni una funzione equivalente eliminando tutti i fattori che tendono a $1$, e $1/sqrt{t}$ è uno di questi, quindi la sua presenza o meno non è influente (da questo punto di vista): le funzioni $1/(1-t)^2$ e $1/{sqrt{t}(1-t)^2}$ vanno bene entrambe, e non a caso sono equivalenti, dato che hanno come rapporto $\sqrt{t}$
Scusate l'intromissione:
Qui ti hanno messo due variabili $x$ e $y$ ma in realtà ti prendono in giro, perché le due variabili compaiono solo attraverso la formula \(r=\sqrt{x^2+y^2}\). Ti conviene quindi cambiare variabile e considerare la funzione
\[
G(r)=\frac1r \int_0^r (\text{etc...}),\]
dove \(r\in(0, \infty)\).
"salt21":
Giusto, che stupida che sono!!
Comunque non ha senso perché l'estremo inferiore dell'integrale è 0, quindi al piú posso far tendere la variabile a 0 da destra, corretto?
Qui ti hanno messo due variabili $x$ e $y$ ma in realtà ti prendono in giro, perché le due variabili compaiono solo attraverso la formula \(r=\sqrt{x^2+y^2}\). Ti conviene quindi cambiare variabile e considerare la funzione
\[
G(r)=\frac1r \int_0^r (\text{etc...}),\]
dove \(r\in(0, \infty)\).
Dunque, per fare chiarezza e dare uno schema completo dell'esercizio, lo svolgo tutto dall'inizio tenendo in conto i vostri suggerimenti.
Definisco anzitutto il dominio della funzione integranda.
$ Domf(t)={tin R: tin (0,1)uu (1,+oo )} $ .
Devo adesso definire il dominio della funzione integrale, e comincio dal considerare che: esso coincide con il più grande intervallo contenente il punto 0 (punto iniziale della funzione integrale) in cui l'integranda risulta integrabile.
Quindi: $ (0,1)sube DomF $ .
Devo provare ad estendere il $ DomF $ a destra di 1 (non a sinistra di 0 perché qui la funzione integranda non è mai definita, al più posso provare verificare la convergenza in 0 della funzione integrale).
1) Studio della funzione integrale a destra di 1: verifichiamo se l'integrale converge o diverge usando i metodi di convergenza per gli integrali impropri.
Anzitutto notiamo che la funzione integranda presenta in 1 un punto di discontinuità, dato che il:
$ lim_(t -> 1^-) f(t) = lim_(t -> 1^+) f(t) = +oo $ .
Si tratta di una discontinuità di 2^ specie, quindi bisogna studiare in modo specifico la convergenza/divergenza dell'integrale.
Posto: $ r=sqrt(x^2+y^2) $ , con $ rin (0,+oo) $ (si ottiene la funzione integrale G(r) a seguito di questa posizione) , calcoliamo l'integrale improprio di 2^ specie:
$ lim_(r -> 1) int_(0)^(r) f(t) $ .
Poiché la funzione integranda ha segno costante nell'intervallo di integrazione, posso applicare il criterio del confronto asintotico.
Notiamo che, per $ r -> 1 $ si ha:
$ f(t)~ 1/(1-t)^2 $ .
Allora, al $ lim_(r -> 1) $ i due integrali:
$ int_(0)^(r) f(t) $ e $ int_(0)^(r) 1/(1-t)^2 $ avranno lo stesso comportamento.
Vediamo che: $ int_(0)^(r) 1/(1-t)^2 = 1/(1-r)-1$, che al $ lim_(r -> 1) $, dà $ +oo $. Quindi l'integrale $ int_(0)^(r) f(t) $ diverge. Ciò significa che la funzione integrale non è definita per r>1, anzi essa diverge avvicinandoci ad 1.
2) Vediamo, per completezza, se è incluso il valore 0 nel DomG.
Dobbiamo verificare la convergenza della funzione integrale in 0. Notiamo che esiste finito il limite destro della funzione integranda per $ t->0^+ $. Si può facilmente verificare la convergenza del:
$ lim_(a -> 0^+) int_(0)^(a) f(t)dt $ , in quanto: $ |1-lnt|/(lnt)^2->0 $ per $ t->0^+ $ , quindi $ |1-lnt|/(lnt)^2->0 $ può essere maggiorata con una costante positiva $ c $ , $ c in R^+ $ .
Ovvero: $ int_(0)^(a) f(t)dt <= int_(0)^(a) c/(sqrt(t)) dt = 2c*sqrt(a)$ .
Si conclude che: poiché la funzione integrale converge in 0 e diverge in 1, essa ha come dominio:
$ DomG={r in R^+: rin [0,1)} $ . Inoltre, essa è illimitata nel suo insieme di definizione (diverge in 1). Ne consegue che è illimitata nel suo insieme di definizione anche la funzione iniziale f(x,y).
Definisco anzitutto il dominio della funzione integranda.
$ Domf(t)={tin R: tin (0,1)uu (1,+oo )} $ .
Devo adesso definire il dominio della funzione integrale, e comincio dal considerare che: esso coincide con il più grande intervallo contenente il punto 0 (punto iniziale della funzione integrale) in cui l'integranda risulta integrabile.
Quindi: $ (0,1)sube DomF $ .
Devo provare ad estendere il $ DomF $ a destra di 1 (non a sinistra di 0 perché qui la funzione integranda non è mai definita, al più posso provare verificare la convergenza in 0 della funzione integrale).
1) Studio della funzione integrale a destra di 1: verifichiamo se l'integrale converge o diverge usando i metodi di convergenza per gli integrali impropri.
Anzitutto notiamo che la funzione integranda presenta in 1 un punto di discontinuità, dato che il:
$ lim_(t -> 1^-) f(t) = lim_(t -> 1^+) f(t) = +oo $ .
Si tratta di una discontinuità di 2^ specie, quindi bisogna studiare in modo specifico la convergenza/divergenza dell'integrale.
Posto: $ r=sqrt(x^2+y^2) $ , con $ rin (0,+oo) $ (si ottiene la funzione integrale G(r) a seguito di questa posizione) , calcoliamo l'integrale improprio di 2^ specie:
$ lim_(r -> 1) int_(0)^(r) f(t) $ .
Poiché la funzione integranda ha segno costante nell'intervallo di integrazione, posso applicare il criterio del confronto asintotico.
Notiamo che, per $ r -> 1 $ si ha:
$ f(t)~ 1/(1-t)^2 $ .
Allora, al $ lim_(r -> 1) $ i due integrali:
$ int_(0)^(r) f(t) $ e $ int_(0)^(r) 1/(1-t)^2 $ avranno lo stesso comportamento.
Vediamo che: $ int_(0)^(r) 1/(1-t)^2 = 1/(1-r)-1$, che al $ lim_(r -> 1) $, dà $ +oo $. Quindi l'integrale $ int_(0)^(r) f(t) $ diverge. Ciò significa che la funzione integrale non è definita per r>1, anzi essa diverge avvicinandoci ad 1.
2) Vediamo, per completezza, se è incluso il valore 0 nel DomG.
Dobbiamo verificare la convergenza della funzione integrale in 0. Notiamo che esiste finito il limite destro della funzione integranda per $ t->0^+ $. Si può facilmente verificare la convergenza del:
$ lim_(a -> 0^+) int_(0)^(a) f(t)dt $ , in quanto: $ |1-lnt|/(lnt)^2->0 $ per $ t->0^+ $ , quindi $ |1-lnt|/(lnt)^2->0 $ può essere maggiorata con una costante positiva $ c $ , $ c in R^+ $ .
Ovvero: $ int_(0)^(a) f(t)dt <= int_(0)^(a) c/(sqrt(t)) dt = 2c*sqrt(a)$ .
Si conclude che: poiché la funzione integrale converge in 0 e diverge in 1, essa ha come dominio:
$ DomG={r in R^+: rin [0,1)} $ . Inoltre, essa è illimitata nel suo insieme di definizione (diverge in 1). Ne consegue che è illimitata nel suo insieme di definizione anche la funzione iniziale f(x,y).
"salt21":
Devo adesso definire il dominio della funzione integrale, e comincio dal considerare che: esso coincide con il più grande intervallo contenente il punto 0 (punto iniziale della funzione integrale) in cui l'integranda risulta integrabile.
Quindi: $ (0,1)sube DomF $ .
Continuo a non capire con che ragionamento ottieni quell'informazione sul dominio di $F$: dire che $F$ è definita in $a \in (0,1)$ equivale a dire che l'integrale da $0$ ad $a$ converge. D'accordo, lo hai dimostrato più avanti, ma è qui che ti serve: se quell'integrale non convergesse, allora $F$ sarebbe definita solo in $0$ (e a quel punto il problema diventerebbe banale).
Ma se la funzione integranda è continua in quell'intervallo e quindi ivi integrabile, allora l'integrale è un integrale di Riemann, cioè è un numero reale e quindi converge, no? Allora non mi basta dire questo per includere l'intervallo nel dominio della funzione integrale e verificare a parte se gli estremi sono inclusi ed eventualmente se il dominio può essere esteso provando la convergenza dell'integrale?
"salt21":
Ma se la funzione integranda è continua in quell'intervallo e quindi ivi integrabile, allora l'integrale è un integrale di Riemann, cioè è un numero reale e quindi converge, no?
Se la funzione è continua nell'intervallo aperto, allora è sicuramente integrabile secondo Riemann, ma niente ti assicura che l'integrale sia una quantità finita! Il procedimento che hai scritto sarebbe sicuramente corretto se la funzione (oltre a essere continua) fosse limitata, ma direi che non è il tuo caso, dato che...
Si ovviamente intendevo l'intervallo aperto (0,1). Comunque ok, allora mi daresti una mano nell'impostare l'esercizio in maniera corretta?
Praticamente va già bene lo svolgimento che hai scritto in precedenza: l'unica cosa da sistemare è, appunto, la stima dell'integrale in un intorno destro di $0$, che è una cosa che va fatta all'inizio per capire com'è fatto il dominio della funzione integrale, e non alla fine "per completezza". Infine (piccola pignoleria) sarebbe meglio dare un altro nome alla funzione integranda perché $f$ indica già la funzione data dal problema.
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