Studio funzione di Due Variabili
Salve a tutti! Sto svolgendo questo esercizio, ma ho alcuni dubbi sullo svolgimento.
In aula non abbiamo praticamente mai fatto esercizi, quindi spero mi possiate dire se ho fatto bene l'esercizio sia "formalmente" che "praticamente".
L'esercizio è il seguente:
1) Sia
$ f(x, y) = x sin y + y . $
a) Classificare i punti critici di f.
b) Scrivere l’equazione del piano tangente al grafico di f nel punto $ (0, 1, 1) $
c) Scrivere l’equazione della retta tangente alla curva di livello di equazione
$ f(x, y) = 0 $ nel punto di coordinate $ (-pi/2, pi/2) $ .
Svolgimento:
Decido di studiare la funzione in $ Rxx [0,2pi[ $.
Calcolo le derivate parziali rispetto a x e y della funzione, che sono:
$ (partialf)/(partialx) = siny $
$ (partial f)/(partial y) = xcosy + 1 $
Dopodiché le metto a sistema e trovo i punti critici in $ Rxx [0,2pi[ $ ,ossia:
$ P=(-1, 0) $
$ T=(1, pi) $
Calcolo le derivate seconde:
$ (partial^2 f)/(partial x^2) = 0 $
$ (partial^2 f)/(partial y^2) = -xsiny $
$ (partial^2 f)/(partial xpartialy) =(partial^2 f)/(partial ypartial x) =cosy $
Dopodiché scrivo la matrice Hessiana e calcolo il determinante:
$ H= | ( 0 , cosy ),( cosy , -xsiny ) | = -cos^2y $
Vado a sostituire alla y le rispettive y di P e T, e trovo:
$ P -> Det(H)=-1 $
$ T -> Det(H)=-1 $
Entrambi, quindi, dovrebbero essere dei punti di sella. Facendo questo esercizio, però, mi è venuto un dubbio: posso dire che sono punti sella nonostante il primo termine sia nullo? Io credo di sì, ma non ne sono certo. Inoltre: se avessi trovato un valore positivo o nullo del determinante, come avrei potuto classificare i punti critici, visto che il primo termine è nullo?
Per quanto riguarda il secondo punto, invece, mi basta sapere che il piano tangente in punto è dato dall'equazione:
$ z=f(x0,y0)+ (partial f(x0,y0))/(partial x)*(x-x0) + (partial f(x0,y0))/(partial y)*(y-y0) $
E mi viene: $ z=xsin(1) +y $
Terzo Punto. Non ho mai sentito parlare di curva di livello durante il corso...
Ad ogni modo,come prima cosa, scrivo:
$ f(x,y)= xsiny +y=0 $
Che è in forma implicita. Andando a leggere dagli appunti presi in aula ho trovato una formula:
$ (partialf(x0,y0))/(partialx)(x-x0) + (partialf(x0,y0))/(partialy)(y-y0)=0 $
Dopo i calcoli mi trovo:
$ x=-pi/2 $
E' corretto? Il punto è che non ho idea da dove derivi la formula della retta... C'entra qualcosa il Dini?
Spero possiate aiutarmi a capire gli eventuali errori e chiarire i dubbi.
Grazie anticipatamente!
In aula non abbiamo praticamente mai fatto esercizi, quindi spero mi possiate dire se ho fatto bene l'esercizio sia "formalmente" che "praticamente".
L'esercizio è il seguente:
1) Sia
$ f(x, y) = x sin y + y . $
a) Classificare i punti critici di f.
b) Scrivere l’equazione del piano tangente al grafico di f nel punto $ (0, 1, 1) $
c) Scrivere l’equazione della retta tangente alla curva di livello di equazione
$ f(x, y) = 0 $ nel punto di coordinate $ (-pi/2, pi/2) $ .
Svolgimento:
Decido di studiare la funzione in $ Rxx [0,2pi[ $.
Calcolo le derivate parziali rispetto a x e y della funzione, che sono:
$ (partialf)/(partialx) = siny $
$ (partial f)/(partial y) = xcosy + 1 $
Dopodiché le metto a sistema e trovo i punti critici in $ Rxx [0,2pi[ $ ,ossia:
$ P=(-1, 0) $
$ T=(1, pi) $
Calcolo le derivate seconde:
$ (partial^2 f)/(partial x^2) = 0 $
$ (partial^2 f)/(partial y^2) = -xsiny $
$ (partial^2 f)/(partial xpartialy) =(partial^2 f)/(partial ypartial x) =cosy $
Dopodiché scrivo la matrice Hessiana e calcolo il determinante:
$ H= | ( 0 , cosy ),( cosy , -xsiny ) | = -cos^2y $
Vado a sostituire alla y le rispettive y di P e T, e trovo:
$ P -> Det(H)=-1 $
$ T -> Det(H)=-1 $
Entrambi, quindi, dovrebbero essere dei punti di sella. Facendo questo esercizio, però, mi è venuto un dubbio: posso dire che sono punti sella nonostante il primo termine sia nullo? Io credo di sì, ma non ne sono certo. Inoltre: se avessi trovato un valore positivo o nullo del determinante, come avrei potuto classificare i punti critici, visto che il primo termine è nullo?
Per quanto riguarda il secondo punto, invece, mi basta sapere che il piano tangente in punto è dato dall'equazione:
$ z=f(x0,y0)+ (partial f(x0,y0))/(partial x)*(x-x0) + (partial f(x0,y0))/(partial y)*(y-y0) $
E mi viene: $ z=xsin(1) +y $
Terzo Punto. Non ho mai sentito parlare di curva di livello durante il corso...
Ad ogni modo,come prima cosa, scrivo:
$ f(x,y)= xsiny +y=0 $
Che è in forma implicita. Andando a leggere dagli appunti presi in aula ho trovato una formula:
$ (partialf(x0,y0))/(partialx)(x-x0) + (partialf(x0,y0))/(partialy)(y-y0)=0 $
Dopo i calcoli mi trovo:
$ x=-pi/2 $
E' corretto? Il punto è che non ho idea da dove derivi la formula della retta... C'entra qualcosa il Dini?
Spero possiate aiutarmi a capire gli eventuali errori e chiarire i dubbi.
Grazie anticipatamente!
Risposte
"ZxInfinitexZ":
Decido di studiare la funzione nell'intervallo $ [0,2pi[ $ , visto che è periodica.
Cosa vuol dire che \(f\) e' periodica nell'intervallo \([0,2\pi[\)?
Forse intendi nel quadrato \([0,2\pi[ \times [0,2\pi[\)?
Ad occhio la curva non mi sembra abbia qualche periodicita', comunque. Magari sbaglio, ma
\[f(-1,\pi) \neq f(-1,3\pi)\]
Dopodiché le metto a sistema e trovo i punti critici nell'intervallo $ [0,2pi[ $ ,ossia: $ P=(-1, 0) $ $ T=(1, pi)
Sulla striscia \(\mathbb{R} \times [0,2\pi[\) questo e' vero. Ma se avessi ragione io dovresti considerare tutto il piano. E allora li' di punti stazionari ne hai un'infinita'. Precisamente i punti stazionari sono
\[S := \{(-1,2k \pi),\,(1, {2k+1} \cdot \pi)\,:\,k \in \mathbb{Z}\}\]
- tac-tac, tac-tac ...
Dopodiché scrivo la matrice Hessiana e calcolo il determinante ...
Ma perche' non smanetti un po' sulle derivate parziali che hai gia' trovato? A me pare che -guardando la situazione dall'alto verso il basso- tu abbia una bella scalinata ascendente smussata. Infatti:
\[\frac{\partial f}{\partial y} \Big|_{( x, {2k} \cdot \pi )} = \sin{2k\pi} \equiv 0\]
mentre
\[\frac{\partial f}{\partial y} \Big|_{( \pm 1, {2k+1} \cdot \pi )} = x\cos{y} +\!1\]
che di suo e' sempre positiva, ma in ogni stazionario si annulla -i.e. sali e ti riposi, sali e ti riposi, sali e ti riposi, etc.
Per quanto riguarda il secondo punto, invece, mi basta sapere che il piano tangente in punto è dato dall'equazione ...
Vero: e' il polinomio di Taylor di ordine 1.
\[f(\mathbf{x} + \mathbf{h}) = f(\mathbf{x}) + \operatorname{d}f(\mathbf{h};\mathbf{x}-\mathbf{h}) + o(\|\mathbf{h}\|) \equiv f(\mathbf{x}) + \nabla{f}(\mathbf{x}) \cdot (\mathbf{x} - \mathbf{h}) + o(\|\mathbf{h}\|)\]
(e' la tua approssimazione piu' à la carlona; un po' come la tangente in analisi 1).
[ot]Curiosita' personale: dove studi?[/ot]
Grazie per la risposta! In effetti il mio problema principale di questo esercizio erano gli infiniti punti critici... Per questo ho deciso di non studiarla in tutto il piano. Però evidentemente ho sbagliato!
Rileggendo quello che ho scritto, in effetti ho specificato male su che intervallo avrei voluto studiarla. Avevo intenzione di studiarla in $ Rxx[0 , 2pi[ $, come ho fatto. ( Dopo correggo il post iniziale dove ho scritto male)
Rileggendo quello che ho scritto, in effetti ho specificato male su che intervallo avrei voluto studiarla. Avevo intenzione di studiarla in $ Rxx[0 , 2pi[ $, come ho fatto. ( Dopo correggo il post iniziale dove ho scritto male)
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