Studio funzione con valore assoluto
Scusate il topic probabilmente strausato, però ho dei seri problemi a capire lo svolgimento di uno studio di funzione nel caso sia presente un valore assoluto!
stavo facendo questa funzione:
$ |(x)^(2)-1 | / x $
nello studio di funzione mi chiede:
1) il dominio, e fin qui va bene: è tutto R tranne 0, perchè il denominatore dev'essere diverso da 0;
2)i limiti agli estremi, e li ho fatti:
vien fuori che
$ lim_(x -> -oo ) = -oo $
$ lim_(x -> +oo ) = +oo $
$ lim_(x -> 0+ ) = +oo $
$ lim_(x -> 0- ) = -oo $
il che vuol dire che c'è
-un asintoto verticale, x=0
-un asintoto obliquo, che dopo i calcoli viene y=x
3)il segno della funzione, e qui traballo un pò, nel senso che non son sicuro del ragionamento:
devo imporre f(x) > 0 , allora:
numeratore: un val assoluto è sempre positivo tranne che per i valori che lo annullano, in questo caso
x=1 e x=-1
denominatore: x>0
dopo il castelletto, f è positiva per x>0, con x!=1.. e quindi la f è negativa per x<0, x!=-1
in quei 2 punti (1,0) e (-1,0) c'è l'intersezione con l'asse delle x;
4)intervalli di monotonia e massimi e minimi, e qui mi perdo totalmente:
so che devo imporre la derivata
$ f'(x) \geq 0 $
ma so anche che essendoci un valore assoluto devo fare due derivate diverse...
e qui mi schianto!
devo fare la derivata di
$ ((x)^(2)-1) / x \geq 0 $
e
$ (-(x)^(2)+1) / x \geq 0 $
però poi non so cosa farmene dei risultati ottenuti e non so quale dominio devo usare per una e quale per l'altra! insomma, è qui il mio nodo di confusione totale x_x
sapreste aiutarmi? =)
stavo facendo questa funzione:
$ |(x)^(2)-1 | / x $
nello studio di funzione mi chiede:
1) il dominio, e fin qui va bene: è tutto R tranne 0, perchè il denominatore dev'essere diverso da 0;
2)i limiti agli estremi, e li ho fatti:
vien fuori che
$ lim_(x -> -oo ) = -oo $
$ lim_(x -> +oo ) = +oo $
$ lim_(x -> 0+ ) = +oo $
$ lim_(x -> 0- ) = -oo $
il che vuol dire che c'è
-un asintoto verticale, x=0
-un asintoto obliquo, che dopo i calcoli viene y=x
3)il segno della funzione, e qui traballo un pò, nel senso che non son sicuro del ragionamento:
devo imporre f(x) > 0 , allora:
numeratore: un val assoluto è sempre positivo tranne che per i valori che lo annullano, in questo caso
x=1 e x=-1
denominatore: x>0
dopo il castelletto, f è positiva per x>0, con x!=1.. e quindi la f è negativa per x<0, x!=-1
in quei 2 punti (1,0) e (-1,0) c'è l'intersezione con l'asse delle x;
4)intervalli di monotonia e massimi e minimi, e qui mi perdo totalmente:
so che devo imporre la derivata
$ f'(x) \geq 0 $
ma so anche che essendoci un valore assoluto devo fare due derivate diverse...
e qui mi schianto!
devo fare la derivata di
$ ((x)^(2)-1) / x \geq 0 $
e
$ (-(x)^(2)+1) / x \geq 0 $
però poi non so cosa farmene dei risultati ottenuti e non so quale dominio devo usare per una e quale per l'altra! insomma, è qui il mio nodo di confusione totale x_x
sapreste aiutarmi? =)
Risposte
Voglio farti notare che la funzione è dispari, cioè $f(-x)=-f(x)$, quindi ti basta fare lo studio di funzione per $x> 0$ sapendo che per $x<0$ tutto è "ribaltato" rispetto all'origine degli assi.
A parte questa osservazione, si fa così: studiamo il segno dell'argomento del valore assoluto:
[tex]x^2-1\geq 0 \to x\leq -1 \vee x\geq 1[/tex]
Dunque la funzione può essere scritta così:
[tex]f(x)=\begin{cases}
\displaystyle \frac{x^2-1}{x}& x\leq -1 \vee x\geq 1 \\
\displaystyle -\frac{x^2-1}{x}& -1
Così puoi studiarti i due casi separatamente (e il dominio di ogni caso è scritto a fianco).
Paola
A parte questa osservazione, si fa così: studiamo il segno dell'argomento del valore assoluto:
[tex]x^2-1\geq 0 \to x\leq -1 \vee x\geq 1[/tex]
Dunque la funzione può essere scritta così:
[tex]f(x)=\begin{cases}
\displaystyle \frac{x^2-1}{x}& x\leq -1 \vee x\geq 1 \\
\displaystyle -\frac{x^2-1}{x}& -1
Così puoi studiarti i due casi separatamente (e il dominio di ogni caso è scritto a fianco).
Paola
cavolo, non avevo pensato al fatto che fosse dispari..dovrò farci più caso, non controllo mai =)
grazie della risposta intanto! credo tu sia la prima che mi risponde, tra amici e forum.. il mio dubbio però arriva dopo =) cioè: faccio la derivata delle due funzioni (chiamiamole a) e b) ) e ottengo
a) $ (x^2+1) / x^2 per xleq -1 vv xgeq 1 $
b) $ (-x^2-1) / x^2 per -1leq xleq 1 , x != 0 $
(tra parentesi perchè solo b ha anche $x!=0$ ? io lo mettevo-probabilmente sbagliando-anche al caso a! )
una volta ottenute queste due derivate però, mi schianto..ovvero io faccio così (ma è sbagliato perchè i risultati non vengono):
a)
numeratore: $ x^2+1 geq 0 $ --> $ x^2 geq -1 $ --> quando un num al quadrato è maggiore o uguale a -1? $ AA x $
denominat.: $ x^2 > 0 $ --> $AA x$,$ x!=0 $
castelletto con + e - --->
0
Num: + + + | + + +
Den: + + + o + + +
\\\\\ _______|______
\\\\\\ + + + | + + +
ottengo che la funzione è crescente $AAx$,tranne che in 0, nell'intervallo $ xleq -1 vv xgeq 1 $
e questo già non è vero! se guardo il disegno della funzione (o usando wolfram alpha http://tinyurl.com/uolfram ) il risultato non è ovviamente questo! cosa sbaglio?
grazie della risposta intanto! credo tu sia la prima che mi risponde, tra amici e forum.. il mio dubbio però arriva dopo =) cioè: faccio la derivata delle due funzioni (chiamiamole a) e b) ) e ottengo
a) $ (x^2+1) / x^2 per xleq -1 vv xgeq 1 $
b) $ (-x^2-1) / x^2 per -1leq xleq 1 , x != 0 $
(tra parentesi perchè solo b ha anche $x!=0$ ? io lo mettevo-probabilmente sbagliando-anche al caso a! )
una volta ottenute queste due derivate però, mi schianto..ovvero io faccio così (ma è sbagliato perchè i risultati non vengono):
a)
numeratore: $ x^2+1 geq 0 $ --> $ x^2 geq -1 $ --> quando un num al quadrato è maggiore o uguale a -1? $ AA x $
denominat.: $ x^2 > 0 $ --> $AA x$,$ x!=0 $
castelletto con + e - --->
0
Num: + + + | + + +
Den: + + + o + + +
\\\\\ _______|______
\\\\\\ + + + | + + +
ottengo che la funzione è crescente $AAx$,tranne che in 0, nell'intervallo $ xleq -1 vv xgeq 1 $
e questo già non è vero! se guardo il disegno della funzione (o usando wolfram alpha http://tinyurl.com/uolfram ) il risultato non è ovviamente questo! cosa sbaglio?
nessuno sa rispondermi? 
cavolo..
cavolo..
$x\ne 0 $ non va necessariamente incluso nel caso a) perché è già escluso da $x\leq -1 \vee x\geq 1$.
Per il resto della cosa, va tutto bene. Credo che sia tu che non sai interpretare il grafico, visto che conferma i calcoli e gli intervalli di monotonia.
Paola
Per il resto della cosa, va tutto bene. Credo che sia tu che non sai interpretare il grafico, visto che conferma i calcoli e gli intervalli di monotonia.
Paola
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