Studio funzione a due variabili - quanti punti critici?

[Sossella1]

Ciao ragazzi, ho un dubbio tecnico
Ho la seguente funzione: $ f(x,y)=x^4+y^4-2x^2y $
Le derivate parziali sono le seguenti:
$ { ( f_x(x,y)=4x^3-4xy ),( f_y(x,y)=4y^3-2x^2 ):} $
Dalla prima equazione trovo che si annulla per $ x=0 $ oppure per $ y=x^2 $
Se continuo con i calcoli trovo che i punti critici sono: $ (0,0),(+- 1/(root(4)(2)),1/sqrt(2)) $
Ma se io avessi considerato $ x^2=y $, ottenendo i punti critici $ (0,0),(+- 1,1) $ (quindi altri risultati), avrei sbagliato ragionamento?

[mazzarri1]

Ciao Sossella!

i punti $(+-1,1)$ annullano la $f_x$ ma non la $f_y$ quindi non possono essere punti critici...

Invece se hai

${(4x(x^2-y)=0),(4y^3-2x^2=0):}$

abbiamo subito $x=0$ e poi $x^2=y$ che sostituito nella seconda fornisce

$4y^3-2y=0$

cioè

$2y(2y^2-1)=0$

che fornisce i risultati da te ottenuti in prima istanza

Attenzione che $y=x^2$ è una parabola... significa che la derivata parziale $f_x$ si annulla in tutti i punti della parabola. Questo risultato lo sostituisci in $f_y$ e fai come sopra

ciao!

[Sossella1]

Grazie mille