Studio funzione a due variabili
Allora dovrei fare lo studio di questa funzione a due variabili $f(x,y)=sin(x^2+y^2)$, trovando punti critici liberi e vincolati con vincolo $x^2+y^2=1/2$
Io ho trovato nel punto $(0,0)$ un punto di minimo.. Per quanta riguarda il vincolo però a me sembra di trovare una circonferenza di punti critici, cioè prorio il vincolo..
Ammesso che abbia fatto giusto a trovare questa circonferenza di punti critici, mi trovo in difficoltà a capire come faccio a dire se quei punti critici sn massimi, minimi o selle...
Grazie per l' aiuto!
Io ho trovato nel punto $(0,0)$ un punto di minimo.. Per quanta riguarda il vincolo però a me sembra di trovare una circonferenza di punti critici, cioè prorio il vincolo..
Ammesso che abbia fatto giusto a trovare questa circonferenza di punti critici, mi trovo in difficoltà a capire come faccio a dire se quei punti critici sn massimi, minimi o selle...
Grazie per l' aiuto!
Risposte
La funzione è costante su tutte le circonferenze centrate nell'origine. $x^2 + y^2$ è infatti uguale al quadrato della distanza dall'origine. Conviene quindi analizzare i punti critici della funzione $sin(d^2)$.
Mmm scusa ma non ti seguo..cosa vorresti dire?? Io dovrei trovare i punti critici vincolati con vincolo $x^2+y^2=1/2$ qundi non capisco molto bene cosa vuoi dire... volevo sapere cm faccio a studiare il segno della funzione "dentro e fuori" della circonferenza di punti critici..potresti spiegarti meglio?
Quando devi trovare i punti di max e di min vincolati devi studiarti i valori della funzione solo in quel vincolo! Ad esempio, (non ho fatto i calcoli) il punto $(0, 0)$ suppongo che sia un punto critico che ti sei trovato con le derivate parziali! Bene quel punto non appartiene al vincolo quindi devi trovarti altri punti di min e max sulla circoferenza $x^2 + y^2 = 1/2$
spero di aver detto bene perchè anche io mi sto impazzendo con questo argomento e pare che sto riuscendo a capire qualcosa!
spero di aver detto bene perchè anche io mi sto impazzendo con questo argomento e pare che sto riuscendo a capire qualcosa!
Come ha detto clockover devi studiarti i punti critici solo sulla circonferenza $x^2 + y^2 = 1/2$. Ci sono vari modi per farlo ma in questo caso basta osservare che la tua funzione nel vincolo diventa $f(x,y) = sin(x^2 + y^2) = sin(1/2)$ che è costante. Sul vincolo la funzione è costante (e quindi la derivata è sempre 0).
Si certo ma l' esercizio chiedeva di trovare massimi e minimi liberi e vincolati.. Io cn i moltiplicatori di lagrange mi sembra di aver trovato appunto quella circonferenza di punti critici..ora però vieene il difficile e cioè dire la loro natura..massimi minimi o sella...è questo punto che non riesco a risolvere
La tua funzione è composta da $z=sen \ t$ e da $t=x^2+y^2$.
Quindi ti studi $sen \ t$ e non sarà difficile trovare punti di max e min. Questo per quelli "liberi"
Poi destino vuole che il tuo vincolo coincida con una curva di livello della tua funzione.
Che pertanto è costante sul vincolo. E, quindi tutti i punti del vincolo sono punti di max (vincolato) per la tua funzione e allo stesso tempo anche punti di min (vincolato).
[size=75]PS: non ho fatto altro che dire in modo diverso quello che aveva già detto apatriarca.[/size]
Quindi ti studi $sen \ t$ e non sarà difficile trovare punti di max e min. Questo per quelli "liberi"
Poi destino vuole che il tuo vincolo coincida con una curva di livello della tua funzione.
Che pertanto è costante sul vincolo. E, quindi tutti i punti del vincolo sono punti di max (vincolato) per la tua funzione e allo stesso tempo anche punti di min (vincolato).
[size=75]PS: non ho fatto altro che dire in modo diverso quello che aveva già detto apatriarca.[/size]
Ma com'è possibile questa cosa?? Sinceramente non riesco a figurarmi un immagine del genere.. Quindi la soluzione dell' esercizio sarebbe che la circonferenza $x^2+y^2=1/2$ è un insieme di punti critici che sono sia massimi che minimi??
E poi volevo chiedere cm si fa a detemrinare con il metodo di lagrange se un punto è di sella??
Il mio professore ci ha detto che una volta trovati i punti vincolati basta sostituirli nella funzione e vedere in quali la funzione prende il massimo e minimo valore.. ma se un punto criticoo fosse una sella?? Come la individuerei?
Grazie per la pazienza!! Fra un pò ho l' esame di analisi e questi sn gli ultimi argomenti affrontati:D
E poi volevo chiedere cm si fa a detemrinare con il metodo di lagrange se un punto è di sella??
Il mio professore ci ha detto che una volta trovati i punti vincolati basta sostituirli nella funzione e vedere in quali la funzione prende il massimo e minimo valore.. ma se un punto criticoo fosse una sella?? Come la individuerei?
Grazie per la pazienza!! Fra un pò ho l' esame di analisi e questi sn gli ultimi argomenti affrontati:D
"SenzaCera":"non riesco a figurarmi un immagine del genere" ma va là!
Ma com'è possibile questa cosa?? Sinceramente non riesco a figurarmi un immagine del genere.. Quindi la soluzione dell' esercizio sarebbe che la circonferenza $x^2+y^2=1/2$ è un insieme di punti critici che sono sia massimi che minimi??
Pensa allo spazio xyz.
Prendi un grafico qualunque nel piano xy (solo per le x maggiori o uguali di zero).
Fallo ruotare di 360 gradi attorno all'asse z.
Se non lo "vedi", per penitenza ti cotruisci un modellino (di pongo, di legno, di marmo, di bronzo
)"SenzaCera":Occorre fare attenzione. Quello che ti ha detto il prof è corretto (per definizione
E poi volevo chiedere cm si fa a detemrinare con il metodo di lagrange se un punto è di sella??
Il mio professore ci ha detto che una volta trovati i punti vincolati basta sostituirli nella funzione e vedere in quali la funzione prende il massimo e minimo valore.. ma se un punto criticoo fosse una sella?? Come la individuerei?
), ma riguada i punti di max e min assoluti per il tuo problema vincolato.Diverso è il discorso di classificare i punti critici del problema vincolato (che ti trovi con Lagrange, se applicabile) in p.ti di max, min relativo, o sella o "niente".
Ci sono dei criteri (che adattano il metodo della matrice hessiana al caso vincolato), ma non penso proprio che li abbiate fatti. Di solito vengono studiati solo in corsi specialistici dedicati all'ottimizzazione.
Ah ok grazie mille!! Ho trovato qualche informazione sull' individuazione dei punti di sella ma sul libro è poco chiaro quindi mi rimetterò alla clemenza del professore!!
Grazie ancora per le celeri ed esaustive risposte!!
Grazie ancora per le celeri ed esaustive risposte!!
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