Studio Funzione

[ciuf_ciuf]

Ho questa funzione $ f(x,y) = |x^2y-xy^2|e^-(x^2y-xy^2) $ noto facilmente che si tratta di una funzione composta da

$ f(t) = |t|e^-t $
$ g(x,y) = x^2y-xy^2 $

studio g(x,y) ottenendo le derivate parziali e vedo che l'unico punto stazionario è P(0,0). Adesso però viene il mio problema. Dovrei dimostrare che quel punto è un punto di sella. Come faccio ? Che tecnica devo usare ? Grazie.

[Rigel1]

Mi sembra oggettivamente difficile da dimostrare, dal momento che l'origine è un punto di minimo assoluto per $f$.
I punti in cui $g$ si annulla (vale a dire gli assi e la bisettrice $y=x$) sono tutti punti di minimo assoluto per la funzione $f$ di partenza, dal momento che la funzione
$h(t) = |t| e^{-t}$ si annulla per $t=0$ ed è strettamente positiva per tutti gli altri valori di $t$.

Edit: a meno che tu non ti riferissi alla funzione $g$.
In tal caso, osserva che $g(x,y) = xy(x-y)$, quindi $g$ si annulla sulle tre rette sopra citate passanti per l'origine e cambia segno in ogni intorno dell'origine (basta studiarne il segno).

[ballo1]

Dovresti costruire la matrice hessiana con le derivate parziali seconde e da lì devi verificare che il determinante della matrice hessiana nel punto $(0,0)$ sia minore di zero. Per la costruzione corretta della matrice hessiana ti rimando ad un qualsiasi libro di teoria di analisi 2. Se non trovi le informazioni giuste per costruirla faccelo sapere

[ciuf_ciuf]

Il Prof. dice che si vede facilmente studiando il segno della funzione g in un intorno dell'origine, ma non ho idea di come si faccia però.

[ciuf_ciuf]

"ballo":Dovresti costruire la matrice hessiana con le derivate parziali seconde e da lì devi verificare che il determinante della matrice hessiana nel punto $(0,0)$ sia minore di zero. Per la costruzione corretta della matrice hessiana ti rimando ad un qualsiasi libro di teoria di analisi 2. Se non trovi le informazioni giuste per costruirla faccelo sapere

La matrice hessiana nel punto P(0,0) è nulla

[ciuf_ciuf]

"Rigel":
Edit: a meno che tu non ti riferissi alla funzione $g$.
In tal caso, osserva che $g(x,y) = xy(x-y)$, quindi $g$ si annulla sulle tre rette sopra citate passanti per l'origine e cambia segno in ogni intorno dell'origine (basta studiarne il segno).

Il problema è che non ho idea di come studiare il segno. Che tecnica devo usare ?

[dissonance]

E' sbagliato studiare la matrice Hessiana di $f$. $f$ infatti non è derivabile in $(0, 0)$, meglio metterlo in chiaro.

[Quinzio]

La funzione e' sempre positiva perche' l'esponenziale e' sempre positivo ed e' moltiplicato per il modulo di qualcosa.
E siccome in P(0,0) la funzione e' 0, li c'e' un minimo, altro che punto di sella !!!

Nell'intorno dell'origine la funzione ha un comportamento non semplice, ma dire che li c'e' un punto di sella.....non saprei...

[ciuf_ciuf]

"Quinzio":La funzione e' sempre positiva perche' l'esponenziale e' sempre positivo ed e' moltiplicato per il modulo di qualcosa.
E siccome in P(0,0) la funzione e' 0, li c'e' un minimo, altro che punto di sella !!!

Nell'intorno dell'origine la funzione ha un comportamento non semplice, ma dire che li c'e' un punto di sella.....non saprei...

Si si per f(t) t = 0 è un punto di minimo, su questo siamo d'accordo. Ma per g(x,y) il prof scrive che studiando il segno in un intorno di P(0,0) si vede facilmente che è un punto di sella. Come fa a studiare il segno se non posso usare le restrizioni sull'asse y nè sull'asse x visto che la funzione si annulla !!!