Studio funzione
Sono alle prime armi con lo studio delle funzioni....In un post precedente ho chiesto aiuto su un limite riguardo questa funzione:
$ lim_(x -> - oo) (sqrt(x^2 + 2x) - x)/x $
In pratica ho fino ad ora calcolato:
1)C.E. $x <= -2 e x>=0$
2)Per quali valori $f(x)$ risulta positiva e negativa...Positiva per x>0 , negativa per x<0
3)Intersezione con gli assi nel punto (0,0)
4)Il comportamento al limite deducendo che esiste l'asintoto orizzontale dx di equazione $y=1$ e l'asintoto obliquo di equazione $y=-2x -1$, mentre la funzione per $x-> -oo$ tende a $+ oo$
5)Penso che fino ad adesso sia corretto....Mi serve calcolare in per quali valori di x la funzione risulta crescente e decrescente...Per fare ciò calcolo la derivata prima...Per sapere dove f(x) è crescente pongo la sua derivata prima >0 , mentre per sapere dove essa risulta decrescente la pongo< 0
Essendo $f'(x)=(x+1 - sqrt(x^2 + 2x))/(sqrt(x^2 + 2x))$ (ditemi se sbaglio) risulta che:
a)f(x) crescente... essendo il numeratore della derivata prima 1>0 (sempre) mi resta da calcolare (per il denominatore) per quali valori di x $sqrt(x^2 + 2x)$ risulta positiva....cioè per x>0 e per x<-2 la funzione risulta crescente (GIUSTO)
b)f(x) decrescente per -2funzione non è mai decrescente
6)In prossimità dei punti di ascissa x=0 e x=-2
Mi restano da trovare i punti di minimo e di massimo.....Come faccio??E poi da dove inizio a tracciare il disegno???
Grazie a chi risponde
$ lim_(x -> - oo) (sqrt(x^2 + 2x) - x)/x $
In pratica ho fino ad ora calcolato:
1)C.E. $x <= -2 e x>=0$
2)Per quali valori $f(x)$ risulta positiva e negativa...Positiva per x>0 , negativa per x<0
3)Intersezione con gli assi nel punto (0,0)
4)Il comportamento al limite deducendo che esiste l'asintoto orizzontale dx di equazione $y=1$ e l'asintoto obliquo di equazione $y=-2x -1$, mentre la funzione per $x-> -oo$ tende a $+ oo$
5)Penso che fino ad adesso sia corretto....Mi serve calcolare in per quali valori di x la funzione risulta crescente e decrescente...Per fare ciò calcolo la derivata prima...Per sapere dove f(x) è crescente pongo la sua derivata prima >0 , mentre per sapere dove essa risulta decrescente la pongo< 0
Essendo $f'(x)=(x+1 - sqrt(x^2 + 2x))/(sqrt(x^2 + 2x))$ (ditemi se sbaglio) risulta che:
a)f(x) crescente... essendo il numeratore della derivata prima 1>0 (sempre) mi resta da calcolare (per il denominatore) per quali valori di x $sqrt(x^2 + 2x)$ risulta positiva....cioè per x>0 e per x<-2 la funzione risulta crescente (GIUSTO)
b)f(x) decrescente per -2
6)In prossimità dei punti di ascissa x=0 e x=-2
Mi restano da trovare i punti di minimo e di massimo.....Come faccio??E poi da dove inizio a tracciare il disegno???
Grazie a chi risponde
Risposte
Mi rispondo da solo...pongo la derivata prima uguale a zero trovando così le ascisse dei punti di minimo.....e non di massimo giusto???cioè le ascisse 0 e -2....Ora sotistituisco questi due valori alla mia funzione per trovare le oridinate.....Dico bene????Cosa mi resta da fare???
1)C.E. $(-oo,-2) uu (-2,0) uu (0,2) uu (2,+oo)$
2) Per quanto riguarda la derivata prima, per semplicità la funzione l'ho scritta in questo modo: $(sqrt(x^2+2x))/x-1$ quindi ho derivato, e abbiamo:
$((x(x+1))/(sqrt(x^2+2x))-sqrt(x^2+2x))/x^2 => (-x)/(x^2sqrt(x^2+2x)) => (-1)/(xsqrt(x^2+2x))$
fatto questo basta porre $f'(x)>=0$ per studiare contemporaneamente sia la monotonia sia gli eventuali punti di massimo o di minimo
2) Per quanto riguarda la derivata prima, per semplicità la funzione l'ho scritta in questo modo: $(sqrt(x^2+2x))/x-1$ quindi ho derivato, e abbiamo:
$((x(x+1))/(sqrt(x^2+2x))-sqrt(x^2+2x))/x^2 => (-x)/(x^2sqrt(x^2+2x)) => (-1)/(xsqrt(x^2+2x))$
fatto questo basta porre $f'(x)>=0$ per studiare contemporaneamente sia la monotonia sia gli eventuali punti di massimo o di minimo
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