Studio funzione

[giova551]

Ciao stavo affrontando lo studio della seguente funzione:
$ ln (x^2+e^root(3)(x)) $
e trovo difficoltà subito nel deteminare il $ lim_(x -> oo ) ln (x^2 + e^root(3)(x)) $
in particolare nella ricerca dell'asintoto $ lim_(x -> oo ) ln (x^2 + e^root(3)(x))/x $
Taylor non riesco ad usarlo... e con Hopital non ottengo nulla.

Confido nella vostra risposta, grazie in anticipo!

[poll89]

ln è una funzione monotona crescente, quindi se il suo argomento è positivo crescente lo è anche ln: ergo, $ lim_(x -> oo ) ln (x^2 + e^root(3)(x)) = + infty$ in entrambi i casi: se $x->+infty$ è ovvio dato che entrambi i termini vanno a $+infty$, nell'altro caso l'esponenziale va a zero ma rimane $x^2$ ed il discorso si ripete.

Se applichi de l'Hopital a $ lim_(x -> oo ) ln (x^2 + e^root(3)(x))/x $ si elimina il logaritmo, quindi direi che è utile. Prova a postare i conti se ancora non ti viene

[francicko]

Scusate, ma osservando che nell'argomento del logaritmo, $x^2+e^(x^(1/3)) $, il fattore dominante per $x->infty $, e', $e^(x^(1/3))$, cioe' va ad infinito più velocemente, pertanto avremo $lim_(x->infty)(ln (x^2+e^(x^(1/3))))/x=lim_(x->infty)(ln (e^(x^(1/3))))/x=lim_(x->infty)((x^(1/3)))/x=0$;
mi sbaglio?
Si potrebbe concludere quindi che tale funzione e' definita nel campo reale per tutti i valori di $x$ tale che $x>=0$, e che non possiede asintoti obliqui, ne orizzontali ( diverge a +$infty$),mi sbaglio?

[poll89]

hai ragione, francicko, volevo solo far correggere i conti su l'Hopital a giova, dato che credo li abbia sbagliati.
Una curiosità: dato che $ lim_(x -> oo ) ln (x^2 + e^root(3)(x)) =+infty$ ma $ lim_(x -> +oo ) ln (x^2 + e^root(3)(x))/x = 0$ puoi concludere che non ci sono asintoti orizzontali nè obliqui ma la crescita è meno che lineare (come ci si aspetta da un logaritmo, del resto).

[francicko]

Ok!