Studio forma differenziale

[lepre561]

studiare la seguente forma differenziale

$w=arcsin(y/2)dx+(e^y+x/sqrt(4-y^2))dy$
e se possibile determinare una primitiva che si annulla nel punto (0,0)


allora siccome dalle condizione l'insieme è compreso tra$(-2,2)$ l'insieme è connesso siccome ho verificato la chiusura la forma differenziale è esatta

ora mi chiedo come calcolo una primitiva che si annulla in quel punto

mi sono calcolato una primitiva normale che però non si annulla in $(0,0)$

$Y=xarcsin(y/2)+e^y$

[Reyzet]

Non posso fare i conti adesso. In ogni caso i potenziali sono definiti a meno di costanti additive (in un connesso c'è una sola costante). Che procedimento hai usato per trovare la primitiva?

[lepre561]

questo

$(partialF)/(partialx)=arcsin(y/2)$

integrando $f(x,y)=xarcsin(y/2)+alpha(y)$

derivando rispetto a y

$e^y+x/(sqrt(4-y^2))=x/(sqrt(4-y^2))+alpha'(y)$

$alpha(y)=e^y$

[dissonance]

"lepre561":
allora siccome dalle condizione l'insieme è compreso tra$(-2,2)$ l'insieme è connesso siccome ho verificato la chiusura la forma differenziale è esatta

Non basta. Deve essere SEMPLICEMENTE connesso, perché una forma differenziale sia esatta se è chiusa. Questi sono errori concettuali gravi, dimostrano che la teoria te la sei allegramente saltata.

mi sono calcolato una primitiva normale che però non si annulla in $(0,0)$

$Y=xarcsin(y/2)+e^y$

Anche qua, si vede che la teoria ti è ignota. Come dice Reyzet, le altre primitive, quelle che secondo te non sono normali ( ), differiscono da questa per una costante additiva;
\[
Y_C(x, y)= x\arcsin(y/2)+e^y + C.\]
Determina \(C\) in modo tale che \(Y_C(0,0)=0\).

[Reyzet]

Integrando la funzione $\alpha'(y)$ devi mettere la costante additiva però

Rileggendo comunque cosa vuol dire che l'insieme è compreso tra $\(-2,2)$? Siamo nel piano guarda

[lepre561]

quindi impongo $c=-1$?

[dissonance]

Non te lo dico. Non è che stiamo qua a fare esercizi passo-passo, sei sufficientemente grande da non avere bisogno di conferme sul valore di \(C\), devi saperci arrivare da solo.

Rispondi alla domanda di Reyzet.

[lepre561]

graficamente traccio due rette $y=+-2$ e tutta la zona di piano compresa tra queste due rette è il mio insieme

[dissonance]

Ok, è corretto. Questo insieme è semplicemente connesso?

[lepre561]

"dissonance":Ok, è corretto. Questo insieme è semplicemente connesso?

si perchè non ha "buchi"