Studio Equazione Differenziale[RISOLTO]

[nunziox]

$y'=x/y+y/x$

La funzione è definita in $(x,y) in R^2$ con $x!=0$ e $y!=0$
Non ci sono soluzioni costanti, di prima categoria.

$y'=x/y+y/x$

applico la sostituzione: $z=y/x$ quindi $y=zx$ ed $y'=z'x+z$

$z'z=1/x$

$z^2/2=log|x|+c$

$z^2=2log|x|+2c$

La soluzione è:

$z=+-sqrt(log|x|+2c)$

Non ci sono soluzioni di tipo misto in quanto non sono presenti soluzioni costanti.

ora faccio alcune considerazioni sull'intervallo di def $z^2>0$ deve essere $log|x|^2+2c>0$
quindi $x in ]-1/e^c;00;1/e^c[$

[Quinzio]

Nella soluzione finale ci manca la radice quadrata...occhio perchè mi sa che fai un errore non banale.

[nunziox]

Hai ragione l'ho dimenticata scrivendo al pc,, ho sbagliato solo questo?:) l'intervallo di def è giusto?

[Quinzio]

Partiamo da qui $(z^2)/(2)=log|x|+c$
$z=\sqrt2 \sqrt(log|x|+c)$

dominio
$x>1/(e^c) \vv x<-1/(e^c)$

[nunziox]

ah avevo dimenticato anche un 2.
$z=sqrt(2log|x|+2c)$
giusto?

ma perchè si prende $z=sqrt(2log|x|+2c)$ non c'è anche $z=-sqrt(2log|x|+2c)$ ?

[Quinzio]

E si.. c'è anche la radice negativa.