Studio Equazione Differenziale
Salve ragazzi vorrei una mano 
1) Data l'equazione di fferenziale:
$ y''-alpha(x)|y'|=beta(x) $
con $ alpha $ funzione reale di variabile reale e $ betain R $:
(a) determinare le soluzioni se $ alpha -= 0 $ e $ beta=0 $ ;
(b) determinare le soluzioni se $ alpha-= 0 $ e $ beta=1 $ ;
(c) determinare, senza risolvere l'equazione, le proprietà di eventuali soluzioni se: $ alpha(x)=1/x $ e $ beta=0 $
--------------------------------------------------
2) Studiare l'equazione di fferenziale:
$ y'=(sqrt(x+4))/(y^2-1 $
--------------------------------------------------
Per quanto riguarda il 2) ho pensato di svolgere così:
$ dy/dx=(sqrt(x+4))/(y^2-1) $ ; $ int(y^2-1)dy=intsqrt(x+4)dx $ ; $ y^3/3-y=2/3sqrt((x+4)^3) $
Ma ora per trovarmi la y non so come andare avanti..
Mentre per il punto 1) vorrei proprio capire come si svolge
Grazie.
1) Data l'equazione di fferenziale:
$ y''-alpha(x)|y'|=beta(x) $
con $ alpha $ funzione reale di variabile reale e $ betain R $:
(a) determinare le soluzioni se $ alpha -= 0 $ e $ beta=0 $ ;
(b) determinare le soluzioni se $ alpha-= 0 $ e $ beta=1 $ ;
(c) determinare, senza risolvere l'equazione, le proprietà di eventuali soluzioni se: $ alpha(x)=1/x $ e $ beta=0 $
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2) Studiare l'equazione di fferenziale:
$ y'=(sqrt(x+4))/(y^2-1 $
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Per quanto riguarda il 2) ho pensato di svolgere così:
$ dy/dx=(sqrt(x+4))/(y^2-1) $ ; $ int(y^2-1)dy=intsqrt(x+4)dx $ ; $ y^3/3-y=2/3sqrt((x+4)^3) $
Ma ora per trovarmi la y non so come andare avanti..
Mentre per il punto 1) vorrei proprio capire come si svolge
Grazie.
Risposte
allora iniziamo dalla seconda, la soluzione non è unica, mettendo in evidenza la y avrai:
$ y(y^3/2-1)=2/3root()((x+4)^3) $
e quindi:
$ y_1=2/3root()((x+4)^3) $
$ y_(2,3)=+-root()(3+ 2root()((x+4)^3) $
Per quanto riguarda il 1° esercizio si tratta di ricavarsi le soluzioni generali e particolari a seconda dei casi che ti vengono dati:
ad esempio caso 1) con $ alpha=0$ $beta=0$
euqazione omogenea associata sarà:
$ lambda^2=0 $ il che significa che hai una soluzione uguale a zero ma di molteplicità doppia, quindi l'integrale generale sarà del tipo: $y_0=C_1*e^0+xC_2*e^0$ beta è uguale a zero quindi non ti devi ricavare nessun integrale particolare...questo è per il caso 1 poi per tutti gli altri casi lascio fare a te
$ y(y^3/2-1)=2/3root()((x+4)^3) $
e quindi:
$ y_1=2/3root()((x+4)^3) $
$ y_(2,3)=+-root()(3+ 2root()((x+4)^3) $
Per quanto riguarda il 1° esercizio si tratta di ricavarsi le soluzioni generali e particolari a seconda dei casi che ti vengono dati:
ad esempio caso 1) con $ alpha=0$ $beta=0$
euqazione omogenea associata sarà:
$ lambda^2=0 $ il che significa che hai una soluzione uguale a zero ma di molteplicità doppia, quindi l'integrale generale sarà del tipo: $y_0=C_1*e^0+xC_2*e^0$ beta è uguale a zero quindi non ti devi ricavare nessun integrale particolare...questo è per il caso 1 poi per tutti gli altri casi lascio fare a te
Grazie per la risposta
Quindi sempre parlando del punto 2).
a) $ lambda ^2=0 $
Quindi la soluzione è $ y_0=A+xB $
b)Qui l'equazione $y''=1$ non è omogenea, e ho cercato di risolverla con il Metodo di somiglianza, prodotto di un polinomio per un espondenziale. Abbiamo che $alpha=0$ ed è radice di molteplicità 2 del polinomio caratteristico in quanto $lambda^2=0$. Quindi prendendo una soluzione del tipo $y_p=cx^2$ otteniamo che
$y''_p=2c$ da cui segue che $c=1/2$ e quindi la soluzione completa è $y(x)=A+xB+x^2/2$
È corretto?
c) $y''-1/x|y'|=0$ Per quanto riguarda questo punto non so come interpretare il valore assoluto, come dovrei fare?
Quindi sempre parlando del punto 2).
a) $ lambda ^2=0 $
Quindi la soluzione è $ y_0=A+xB $
b)Qui l'equazione $y''=1$ non è omogenea, e ho cercato di risolverla con il Metodo di somiglianza, prodotto di un polinomio per un espondenziale. Abbiamo che $alpha=0$ ed è radice di molteplicità 2 del polinomio caratteristico in quanto $lambda^2=0$. Quindi prendendo una soluzione del tipo $y_p=cx^2$ otteniamo che
$y''_p=2c$ da cui segue che $c=1/2$ e quindi la soluzione completa è $y(x)=A+xB+x^2/2$
È corretto?
c) $y''-1/x|y'|=0$ Per quanto riguarda questo punto non so come interpretare il valore assoluto, come dovrei fare?
si b è corretto!!! il valore assoluto non ti deve assolutamente spaventare, per la risoluzione in questo caso opera la sostituzione: $y''=z'$ e $y'=z$ a questo punto ti risolvi l'equazione come se fosse di primo grado con la solita formula...una volta trovata la z risostituisci y'..integri e hai finito.
Scusate se riporto su, sono interessato all'esercizio, in particolare al punto c) del primo esercizio.
In che modo si possono "determinare le proprietà" di eventuali soluzioni di quell'equazione differenziale, senza risolverla?
In che modo si possono "determinare le proprietà" di eventuali soluzioni di quell'equazione differenziale, senza risolverla?
"Ardith":
Scusate se riporto su, sono interessato all'esercizio, in particolare al punto c) del primo esercizio.
In che modo si possono "determinare le proprietà" di eventuali soluzioni di quell'equazione differenziale, senza risolverla?
Ho pensato, scrivendo l'equazione in questa forma:
$y''=|y'|/x$
che per valori di $x>0$ la famiglia delle soluzioni ha concavità verso l'alto, essendo la derivata seconda positiva.
Per $x<0$ invece la concavità verso il basso.
Cosa si può aggiungere?
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