Studio e somma di Serie con parametro
buongiorno a tutti, sono nuovo del forum, ho deciso di iscrivermi perché ho visto che le risposte sono molto competenti ed il forum è molto attivo. Quindi complimenti ai gestori del sito e del forum 
dopo la necessaria premessa volevo chiedere il vostro aiuto perché sono disperato avendo l esame molto vicino!
prima di tutto ho cercato esercizi come questi per capirci qualcosa però non ci sono riuscito.
ho letto che, per essere corretto, il post deve avere almeno un tentativo di svolgimento dell'esercizio proposto però io non so nemmeno come iniziare, vi chiedo quindi almeno un input su come svolgerli.
ho due tipi di esercizi, il primo mi chiede:
determinare per quali valori di a, la seguente serie converge e calcolarne la somma:
\(\displaystyle \sum_{n=0}^{+oo }\frac{(9-3a)^n}{3^n(a-1)^{2n}} \)
l altro mi chiede invece di determinare il carattere della serie al variare del parametro a, e se possibile calcolarne la somma:
\(\displaystyle \sum_{n = 2}^{+\infty } \frac{3a^{n}}{(1+3a) ^{n+2}} \)
quindi per la prima tipologia si sa già che converge, mentre nella seconda tipologia bisogna anche studiarne il carattere.
spero tanto che mi possiate aiutare.
vi ringrazio in anticipo
dopo la necessaria premessa volevo chiedere il vostro aiuto perché sono disperato avendo l esame molto vicino!
prima di tutto ho cercato esercizi come questi per capirci qualcosa però non ci sono riuscito.
ho letto che, per essere corretto, il post deve avere almeno un tentativo di svolgimento dell'esercizio proposto però io non so nemmeno come iniziare, vi chiedo quindi almeno un input su come svolgerli.
ho due tipi di esercizi, il primo mi chiede:
determinare per quali valori di a, la seguente serie converge e calcolarne la somma:
\(\displaystyle \sum_{n=0}^{+oo }\frac{(9-3a)^n}{3^n(a-1)^{2n}} \)
l altro mi chiede invece di determinare il carattere della serie al variare del parametro a, e se possibile calcolarne la somma:
\(\displaystyle \sum_{n = 2}^{+\infty } \frac{3a^{n}}{(1+3a) ^{n+2}} \)
quindi per la prima tipologia si sa già che converge, mentre nella seconda tipologia bisogna anche studiarne il carattere.
spero tanto che mi possiate aiutare.
vi ringrazio in anticipo
Risposte
L'idea di fondo è la seguente:
1) determinare che tipo di serie hai sotto mano;
2) capire che tipo di criteri siano utili per risolvere le questioni proposte.
In entrambi i casi, puoi osservare che le serie si possono riscrivere in modo più semplice, utilizzando una nota proprietà delle potenze, e possono essere ricondotte ad una tipologia di serie ben noto, di cui si sa sia quali siano le condizioni di convergenza, sia quanto vale la somma. Sei in grado di arrivarci?
1) determinare che tipo di serie hai sotto mano;
2) capire che tipo di criteri siano utili per risolvere le questioni proposte.
In entrambi i casi, puoi osservare che le serie si possono riscrivere in modo più semplice, utilizzando una nota proprietà delle potenze, e possono essere ricondotte ad una tipologia di serie ben noto, di cui si sa sia quali siano le condizioni di convergenza, sia quanto vale la somma. Sei in grado di arrivarci?
grazie della risposta...sinceramente non riesco proprio ad abbozzare un tentativo...non vorrei scrivere sciocchezze...conosco i metodi per capire il carattere della serie ma non saprei proprio come applicarli a serie del genere
Ok, amplio il suggerimento: osserva che
$$\frac{(9-3a)^n}{3^n(a-1)^{2n}}=\frac{3^n(3-a)^n}{3^n(a-1)^{2n}}=\frac{(3-a)^n}{(a-1)^{2n}}=\left(\frac{3-a}{(a-1)^2}\right)^n$$
e quindi...
$$\frac{(9-3a)^n}{3^n(a-1)^{2n}}=\frac{3^n(3-a)^n}{3^n(a-1)^{2n}}=\frac{(3-a)^n}{(a-1)^{2n}}=\left(\frac{3-a}{(a-1)^2}\right)^n$$
e quindi...
studio -1
per quanto riguarda la seconda serie invece?
per quanto riguarda la seconda serie invece?
Esatto.
Per la seconda puoi fare una cosa simile.
Per la seconda puoi fare una cosa simile.
grazie mille, già mi hai dato una grande mano
e che metodo uso per sapere il carattere della serie nel secondo caso?
e che metodo uso per sapere il carattere della serie nel secondo caso?
Quale parte di
non ti è chiara?
"ciampax":
Per la seconda puoi fare una cosa simile.
non ti è chiara?
della prima so già che converge, della seconda invece devo sapere qual è il comportamento...quindi non ho capito dove sia la cosa simile tutto qua... 
perdonami ma non sono granchè su questo argomento
perdonami ma non sono granchè su questo argomento
Ma secondo te, chiedere "qual è il comportamento di una serie" cosa significa? Io, prima di lanciarmi nel fare esercizi, un po' di teoria e di "definizioni" le leggerei, sai? Perdona la predica, ma non è questo il modo giusto di affrontare un argomento, tra l'altro anche alquanto ostico e subdolo, come le serie.
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