Studio Differenziabilità funzione

[sillettig]

Ciao ragazzi ! Ho questa funzione :


$\{(x^2y-3y^3)/(x^2+y^2) (x,y) != (0,0):}$
$\ 0 (x,y) = (0,0)$

Scusate l'obrobrio di scrittura ma sono nuovo sto ancora capendo come si usano ste formule
Comunque vedetela come una parentesi unica ... In x diverso da (0,0) la funzione assume quei valori , per (x,y) uguale a (0,0) la funzione ha valore 0 ;
Il comando chiede di studiare la differenziabilità e trovare l'equazione del piano tangente in P(1,1) . Per la differenziabilità basta dire che essendo composizione di funzioni elementari è di classe C1 e quindi vale il teorema del differenziale totale ? Tranne in (0,0) perchè usando la definizione si vede che non è differenziabile nel punto .
Per il piano tangente non ho capito .....
Grazie in anticipo per le risposte !!

[ithilion6]

Non vorrei fare il guastafeste... ma se fai il limite nell'origine scoprirai che non dipende dalla dirizione da cui arrivi...indi è continua!!! poi trovando le derivate direzionali nell'orgine(usa la definizione perchè la funzione ha un buco tappato) scoprirai che esiston finite e non unicamente nulle!!!ed in teoria questo basta per dire che è differenziabile nell'origine(negli altri punti lo davo per scontato...) Per quanto concerne l'ultimo quesito beh stai cercando di approssimare la funzione con un piano(come facevi con le rette per analisi 1)...suggerimento usa il nabla valutato nel punto, per semplicità(poi fare anche diversamente); sapendo che è orotgonale ad ogni vettore vettore tangente alla funzione e quendi ad ogni vettore di quel piano(nel punto)!!!
p.s. correggetemi se sbaglio xD

[gio73]

Personalmente, osservando che al denominatore c'è $x^2+y^2$, ho ritenuto opportuno svolgere il limite in coordinate polari.

[ithilion6]

yeah!!! puoi usare le polari anche per verficare l'esistenzaa delle derivate direzionali...ma confermatemi che esistono finite plz (ovviamente dipendono dalla direzione e quindi dall'angolo se usi le polari)xD