Studio differenziabilità di una funzione di due variabili
Ciao a tutti, sto avendo dei problemi nel valutare se la seguente funzione risulti essere differenziabile oppure no nel punto (0,0):
Ho applicato la definizione di differenziabilità e ho provato a a passare in polari per dimostrare che il limite fosse 0, poi ho applicato Tayolor per la funzione arctan(rò^2) ma non riesco ad andare avanti.
Grazie in anticipo per la risposta
Ho applicato la definizione di differenziabilità e ho provato a a passare in polari per dimostrare che il limite fosse 0, poi ho applicato Tayolor per la funzione arctan(rò^2) ma non riesco ad andare avanti.
Grazie in anticipo per la risposta
Risposte
Ciao!
Siccome questo post sta andando giù, provo a dare una risposta. Sono solo uno studente che sta studiando analisi II come te (suppongo).
Ho calcolato $f_x(0,0)=\frac{1}{e}$ e $f_y(0,0)=0$
Per verificare la differenziabilità in $(0,0)$ bisogna risolvere il limite
$$\lim\limits_{(h,k)\to(0,0)} \frac{f(0+h,0+k)-f(0,0)-\nabla f(0,0)\cdot(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}=\lim\limits_{(h,k)\to(0,0)} \frac{f(h,k)-f(0,0)-f_x(0,0)h-f_y(0,0)k}{\sqrt{h^2+k^2}}=\lim\limits_{(h,k)\to(0,0)}\frac{\frac{\arctan(h^2+k^2)}{h^2+k^2}-1-\frac{h}{e}}{\sqrt{h^2+k^2}}=\lim\limits_{(h,k)\to(0,0)}\frac{1}{\sqrt{h^2+k^2}}\left(\frac{\arctan(h^2+k^2)}{h^2+k^2}-1\right)-\frac{1}{e}\sqrt{\frac{h^2}{h^2+k^2}}$$
Questa sarebbe la parte "difficile", e forse la seguente giustificazione non è corretta.
Direi che la prima parte del limite tende a zero grazie a Taylor (è capitata uguale nel calcolo di $f_y$). Invece la seconda parte del limite non esiste, infatti basta fare la solita restrizione alle rette per convincersene.
La conclusione, quella in cui sono meno sicuro, sarebbe: il limite della sottrazione di una funzione il cui limite esiste e di una funzione il cui limite non esiste, NON esiste $\Rightarrow f$ non è differenziabile in $(0,0)$.
Speriamo qualcuno confermi che ciò che ho scritto è giusto o perlomeno avvisa che sia sbagliato... qualora lo fosse!
Siccome questo post sta andando giù, provo a dare una risposta. Sono solo uno studente che sta studiando analisi II come te (suppongo).
Ho calcolato $f_x(0,0)=\frac{1}{e}$ e $f_y(0,0)=0$
Per verificare la differenziabilità in $(0,0)$ bisogna risolvere il limite
$$\lim\limits_{(h,k)\to(0,0)} \frac{f(0+h,0+k)-f(0,0)-\nabla f(0,0)\cdot(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}=\lim\limits_{(h,k)\to(0,0)} \frac{f(h,k)-f(0,0)-f_x(0,0)h-f_y(0,0)k}{\sqrt{h^2+k^2}}=\lim\limits_{(h,k)\to(0,0)}\frac{\frac{\arctan(h^2+k^2)}{h^2+k^2}-1-\frac{h}{e}}{\sqrt{h^2+k^2}}=\lim\limits_{(h,k)\to(0,0)}\frac{1}{\sqrt{h^2+k^2}}\left(\frac{\arctan(h^2+k^2)}{h^2+k^2}-1\right)-\frac{1}{e}\sqrt{\frac{h^2}{h^2+k^2}}$$
Questa sarebbe la parte "difficile", e forse la seguente giustificazione non è corretta.
Direi che la prima parte del limite tende a zero grazie a Taylor (è capitata uguale nel calcolo di $f_y$). Invece la seconda parte del limite non esiste, infatti basta fare la solita restrizione alle rette per convincersene.
La conclusione, quella in cui sono meno sicuro, sarebbe: il limite della sottrazione di una funzione il cui limite esiste e di una funzione il cui limite non esiste, NON esiste $\Rightarrow f$ non è differenziabile in $(0,0)$.
Speriamo qualcuno confermi che ciò che ho scritto è giusto o perlomeno avvisa che sia sbagliato... qualora lo fosse!
Credo che il thread sia andato giù perchè l'OP non ha postato seguendo le regole del forum.
Il 29/12 l'avevo risolto provando il contrario, ovvero che non esiste un piano tangente univoco in (0,0) guardando le derivate direzionali radiali (che è la cosa più semplice vista la possibilità di passare in coordinate polari).
Lungo tutte le direzioni radiali il piano è XY. Lungo $y=0$ l'inclinazione è $1/e$
Il 29/12 l'avevo risolto provando il contrario, ovvero che non esiste un piano tangente univoco in (0,0) guardando le derivate direzionali radiali (che è la cosa più semplice vista la possibilità di passare in coordinate polari).
Lungo tutte le direzioni radiali il piano è XY. Lungo $y=0$ l'inclinazione è $1/e$
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