Studio differenziabilità

[Xerte]

Buongiorno!
Ho questa simpatica funzione : (y^3-27x^3)*log|y-3x| per y=3x invece vale 0
Faccio il limite e noto che è continua su tutto il dominio

noto subito che avrò problemi in y=3x ..studio la differenziabilità su quella retta..ora mi chiedo, come faccio ad applicare la definizione per le derivate parziali?
lim_(h -> <0>) (f(x+h;3x) - f(x;3x) ) / h
lim_(h -> <0>) (f(x;3x+h) - f(x;3x) ) / h così?

Grazie!

[Quinzio]

"Xerte":Buongiorno!
Ho questa simpatica funzione : (y^3-27x^3)*log|y-3x| per y=3x invece vale 0

Non esiste ! Non è che vale 0.

[Xerte]

f(x,y)=(y^3-27x^3)*log|y-3x| per y!= 3x
0 per y=3x

se faccio il limite della funzione y->3x , f(x,y) tende a 0 quindi è continua

[Seneca1]

Io direi (correggetemi se sbaglio):

Sia $h in RR^2$ , $h = (h_1 , h_2)$. Calcola:

$lim_(t -> 0^+) ( f( (x_0 ,3 x_0) + (h_1 , h_2) * t ) )/t$

[Seneca1]

"Seneca":Io direi (correggetemi se sbaglio):

Sia $h in RR^2$ , $h = (h_1 , h_2)$. Calcola:

$lim_(t -> 0^+) ( f( (x_0 ,3 x_0) + (h_1 , h_2) * t ) )/t$

Facendo qualche conto si vede che questo limite (che se esiste si chiama derivata direzionale di $f$ nella direzione $h$) esiste finito ed è uguale a $0$ solo se $h_2 = 9 h_1$ oppure se $x_0 = 0$. Essendo $h$ un versore, la funzione è differenziabile secondo Gateaux solo nel punto $(0,0)$ e il differenziale è l'applicazione lineare nulla.

Ha senso quindi chiedersi se quella funzione è differenziabile nel punto $(0,0)$. Per verificarlo basta controllare che valga la formula di approssimazione lineare, cioè che $f(h) - f(0,0) - f'(0,0)[h] = o ( | h | )$

Cioè deve essere: $f(h) = o ( | h | )$

E questo (i conti li ho fatti) dovrebbe essere piuttosto facile da verificare. Quindi $f$ è differenziabile in $(0,0)$.


P.S.: Qualcuno può controllare se le mie indicazioni sono corrette?

[Xerte]

ma se volessi fare le derivate parziali sulla retta y=3x per controllare se esistono
è giusto farlo con f(x;3x+h)-f(x;3x) / h
e f(x+h;3x)-f(x;3x) / h

[Seneca1]

Sì. E' un caso particolare di ciò che ho fatto io.

P.S.: Cerca di usare la sintassi giusta per scrivere le formule.

[Seneca1]

"Seneca":[quote="Seneca"]Io direi (correggetemi se sbaglio):

Sia $h in RR^2$ , $h = (h_1 , h_2)$. Calcola:

$lim_(t -> 0^+) ( f( (x_0 ,3 x_0) + (h_1 , h_2) * t ) )/t$

Facendo qualche conto si vede che questo limite (che se esiste si chiama derivata direzionale di $f$ nella direzione $h$) esiste finito ed è uguale a $0$ solo se $h_2 = 9 h_1$ oppure se $x_0 = 0$. Essendo $h$ un versore, la funzione è differenziabile secondo Gateaux solo nel punto $(0,0)$ e il differenziale è l'applicazione lineare nulla.

Ha senso quindi chiedersi se quella funzione è differenziabile nel punto $(0,0)$. Per verificarlo basta controllare che valga la formula di approssimazione lineare, cioè che $f(h) - f(0,0) - f'(0,0)[h] = o ( | h | )$

Cioè deve essere: $f(h) = o ( | h | )$

E questo (i conti li ho fatti) dovrebbe essere piuttosto facile da verificare. Quindi $f$ è differenziabile in $(0,0)$.

[/quote]


C'è qualcuno che riesce a dirmi se va bene questo ragionamento?

Ringrazio in anticipo.