Studio di un'equazione al variare del parametro

[Kemix1]

Ciao a tutti, mi sono bloccato su un esercizio di Analisi 1 e vorrei dunque il vostro parere.
Stabilire per quali valori di a>0 è risolubile l'equazione:
$ x=log_a(x) $
e quante sono le soluzioni.
Poichè di per se l'equazione non è risolvibile, ho svolto una sorta di studio "ridotto" della funzione:
$ f(x)=x-log_a(x) $
il cui dominio è chiaramente $ x>0 $
Dovrei dunque studiare il caso in $a>1$ e quello in cui $0 [size=150]CASO a>1:[/size]
Ho studiato due limiti:
$ lim_(x->0)x-log_ax=+oo $
$ lim_(x->+oo)x-log_ax= lim_(x->+oo)x-logx/loga=lim_(x->+oo)(xloga-logx)/loga= 1/logalim_(x->+oo)(xloga-logx)=1/logalim_(x->+oo)x(loga-logx/x)=+oo $
Quindi non abbiamo la certezza che abbia soluzioni in quanto i due valori assunti dalla funzione agli estremi sono concordi. Inoltre la funzione non ha massimo, ma può avere minimo.
Studio allora la derivata prima per trovare il punto di minimo:
$ f'(x)=1-1/x log_ae=0<=>1/x log_ae=1<=>x=log_ae) $
e valuto il valore assunto dalla funzione in tale punto:
$ f(log_ae)=log_ae-log_a(log_ae)=log_a(e/log_ae) $
Adesso dovrei valutare il segno di questo valore in quanto:
se è positivo, la funzione non interseca mai l'asse x (ovvero l'equazione non ha soluzioni)
se è 0, è proprio l'unica radice dell'equazione
se è negativo, l'equazione ammette due soluzioni relative ai due punti di intersezione con l'asse x.
Tuttavia, da quel passaggio non so più come procedere per fare tali valutazioni.
Chiaramente dovrei studiare anche il caso $0
Ringrazio tutti in anticipo,
Pietro.

[Kemix1]

Ho pensato...e se invece di partire sparato con i calcoli, ragionassi sui grafici?
Mi spiego meglio: dobbiamo valutare quando sia verificata l'equazione $x=log_a(x)$ ovvero quando le due funzioni $y=x$ e $y=log_a(x)$ si intersecano.
Graficamente, è chiaro che, per base maggiore di 1, $y=x$ non interseca mai $y=log_a(x)$. Al contrario, per $0

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[pilloeffe]

Ciao Kemix,

Per farla più semplice, sfrutterei la definizione di logaritmo, così l'equazione che hai proposto diventa la seguente:

$a^x = x$

Il caso $a = 1$ è banale, per cui ti restano da studiare i due casi $0 < a < 1$ e $a > 1$. Se ti accontenti di una soluzione grafica, si tratta di vedere dove la ben nota funzione $y = a^x$ interseca l'altrettanto ben nota retta $y = x$ bisettrice del I e del III quadrante. Facendo un buon disegno si vede che per $0 < a < 1$ c'è una sola soluzione, mentre per $a > 1$... Ad esempio per $a = 2$, per $a = e$ o per $a = 10$ (le più comuni basi dei logaritmi) non c'è soluzione.

[Kemix1]

"pilloeffe":Ciao Kemix,

Per farla più semplice, sfrutterei la definizione di logaritmo, così l'equazione che hai proposto diventa la seguente:

$a^x = x$

Il caso $a = 1$ è banale, per cui ti restano da studiare i due casi $0 < a < 1$ e $a > 1$. Se ti accontenti di una soluzione grafica, si tratta di vedere dove la ben nota funzione $y = a^x$ interseca l'altrettanto ben nota retta $y = x$ bisettrice del I e del III quadrante. Facendo un buon disegno si vede che per $0 < a < 1$ c'è una sola soluzione, mentre per $a > 1$... Ad esempio per $a = 2$, per $a = e$ o per $a = 10$ (le più comuni basi dei logaritmi) non c'è soluzione.

Ciao, ti ringrazio della risposta.
Dunque la risoluzione per via grafica sembra la via più percorribile. In tal caso lo stesso ragionamento da te fatto sulla funzione $y=a^x$ poteva essere fatto a priori con la funzione $y=log_a(x)$ (come ho proposto nella seconda risposta, per intenderci). Sei d'accordo?

[pilloeffe]

Certo, solo che dal punto di vista pratico disegnare una curva esponenziale la vedo più semplice e mi piace di più...

"Kemix":... è chiaro che, per base maggiore di 1, $y = x$ non interseca mai $y = log_a(x)$.

In realtà questo punto non è poi così chiaro come potrebbe sembrare a prima vista... Se provi a risolvere l'equazione

$(sqrt{2})^x = x$

trovi facilmente le due soluzioni: $x_1 = 2$ e $x_2 = 4$.
Quindi, visto che si passa da due soluzioni a nessuna soluzione, si potrebbe arrivare a congetturare l'esistenza di un valore di $a$, diciamo $\bar a$, con $1 < \bar a < 2$, tale che l'equazione $\bar a^x = x$ abbia una sola soluzione.

[pilloeffe]

... E facendo qualche riflessione sulla derivata prima della funzione $f(x) := a^x - x$, che è $f'(x) = a^{x} \ln a - 1$ e si annulla per $\bar x = frac{\ln(1/\ln a)}{\ln a} $, e sul segno di $f(\bar x)$, direi che $\bar a = e^{1/e} = $ [tex]\sqrt[e] {e} \simeq 1,44467 \implies \bar x = e[/tex]. Quindi, riassumendo:

0) Nessuna soluzione per [tex]a > \sqrt[e] {e}[/tex];
1) Una soluzione per $0 < a \le 1$ e per [tex]a = \sqrt[e] {e}[/tex];
2) Due soluzioni per [tex]1 < a < \sqrt[e] {e}[/tex].

[Kemix1]

"pilloeffe":... E facendo qualche riflessione sulla derivata prima della funzione $ f(x) := a^x - x $, che è $ f'(x) = a^{x} \ln a - 1 $ e si annulla per $ \bar x = frac{\ln(1/\ln a)}{\ln a} $, e sul segno di $ f(\bar x) $, direi che $ \bar a = e^{1/e} = $ \( \sqrt[e] {e} \simeq 1,44467 \implies \bar x = e \). Quindi, riassumendo:

0) Nessuna soluzione per \( a > \sqrt[e] {e} \);
1) Una soluzione per $ 0 < a \le 1 $ e per \( a = \sqrt[e] {e} \);
2) Due soluzioni per \( 1 < a < \sqrt[e] {e} \).

Grazie e ancora grazie! Ammetto che non ho capito immediatamente i tuoi calcoli ma dopo averci sbattuto la testa per un'oretta ho capito i ragionamenti e ho anche notato che i calcoli che ho proposto nel primo post di fatto erano esatti, dovevo solo capire come continuarli. In particolare devo continare da qui:

"Kemix":...valuto il valore assunto dalla funzione in tale punto:
$ f(log_ae)=log_ae-log_a(log_ae) $

$ lne/lna - log_a(lne/lna)=1/lna - ln(1/lna)/lna=(1-ln_a(1/lna))/lna $
E adesso si tratta solo di studiare il segno di questo valore.

[pilloeffe]

Prego!
Occhio che hai commesso un errore nell'ultimo passaggio che puoi correggere facilmente: è $\ln $, non $\ln_{a}$...

Comunque la questione non era proprio banalissima e soprattutto poteva trarre in inganno, perché nelle funzioni logaritmiche tipicamente utilizzate le basi sono tutte maggiori o uguali a $2$, quindi la funzione non si sogna neanche di intersecare la retta $y = x$... Poi già le basi comprese fra $1$ e $2$ si usano di rado, figuriamoci la base [tex]\sqrt[e] {e}[/tex]...