Studio di una successione

[salvatoresambito]

Salve a tutti, non riesco a risolvere questo tipo di esercizi ,
L'insieme $ A={(1-2sqrtx)/(x-sqrtx+(-1)^x x)}: x=1,2,3,... $
1 ha minimo ma non massimo
2 ammette sia massimo che minimo
3 ha massimo ma non minimo
4 è chiuso
Qualcuno può spiegarmi passo passo come devo procedere per risolvere questo genere di esercizi?Un metodo completo e rigoroso , perché non ho mai capito come devo procedere in maniera "schematica" per risolverlo.Grazie a tutti

[gugo82]

No.
Perché?

[salvatoresambito]

"gugo82":No.
Perché?

Perché $a(n)$ è troppo generico e dobbiamo "particolarizzarlo soltanto per gli n dispari?"
Per dimostrare la crescenza per gli n pari , questa disuguaglianza va bene ? $ a(2n+2)>a(2n) $

[gugo82]

"Salvy":[quote="gugo82"]No.
Perché?

Perché $a(n)$ è troppo generico e dobbiamo "particolarizzarlo soltanto per gli n dispari?"[/quote]
Sì.

"Salvy":Per dimostrare la crescenza per gli n pari , questa disuguaglianza va bene ? $ a(2n+2)>a(2n) $

Sì.

Lo vedi che se rifletti un po’ sulle cose che fai vai tranquillo?
Rifletti bene prima, poi (eventualmente) chiedi conferma.
E poi impara a non chiedere più conferme ed a fidarti dei tuoi ragionamenti.

[salvatoresambito]

"gugo82":[quote="Salvy"][quote="gugo82"]No.
Perché?

Perché $a(n)$ è troppo generico e dobbiamo "particolarizzarlo soltanto per gli n dispari?"[/quote]
Sì.

"Salvy":Per dimostrare la crescenza per gli n pari , questa disuguaglianza va bene ? $ a(2n+2)>a(2n) $

Sì.

Lo vedi che se rifletti un po’ sulle cose che fai vai tranquillo?
Rifletti bene prima, poi (eventualmente) chiedi conferma.
E poi impara a non chiedere più conferme ed a fidarti dei tuoi ragionamenti.[/quote]
Risolvendo la disequazione $a(2n+3)>a(2n+1)$ ottengo come ultimo passaggi e riducendo tutto ai "minimi termini" $1/sqrt(2n+3)<1/sqrt(2n+1)$ che è valida per ogni n $ in $ $N$ . A questo punto ,dopo aver risolto la disequazione $a(2n+2)>a(2n)$ come devo procedere? Ho dimostrato che entrambe sono crescenti (una definitivamente l'altra no) adesso cosa mi resta da fare?

[gugo82]

[…] adesso cosa mi resta da fare?

Ragionare su quello che sai.

Allora, finora hai stabilito che:

[list=1][*:249ghtss] (il sostegno del)la successione $A$ è formato unendo (i sostegni di) due sottosuccessioni $A_d$ degli elementi corrispondenti agli indici dispari ed $A_p$ corrispondenti agli indici pari;

[/*:m:249ghtss]
[*:249ghtss] la successione $A_d$ è strettamente crescente;

[/*:m:249ghtss]
[*:249ghtss] la successione $A_p$ è strettamente decrescente per $x=2,4$ e strettamente crescente per $x>=4$.[nota]Non ho risolto le disequazioni, ho tirato ad indovinare. Quindi controlla i conti.[/nota][/*:m:249ghtss][/list:o:249ghtss]

Dai punti 2 e 3 segue che $a(2n+1) >= a(1)$ e $a(2n) >= a(4)$ per ogni $n$, dunque $min \{ a(1), a(4)\}$ è un minorante di $A$ che appartiene ad $A$; perciò $A$ è sicuramente dotato di minimo.

Sempre dai punti 2 e 3 segue che le successioni $A_d$ ed $A_p$ hanno limite (Teorema di Regolarità delle Successioni Monotone) e che esse hanno come limite degli estremi superiori, i.e. $a(2n) -> M_p := text(sup)_(n >= 2) A_p$ e $a(2n+1) -> M_d := text(sup) A_d$.
Dato che $M_d >= a(2n+1)$ per ogni $n$ e $ M_p >= a(2n)$ per ogni $n>=2$ e $a(2) >= a(2n)$ per $n <= 2$, è evidente che $M = max \{ M_d, M_p , a(2)\}$ è un maggiorante di $A$ se esso è finito.
Quindi, per stabilire se hai massimo devi calcolare $M_d$ ed $M_p$ e vedere se $M$ esiste finito e se, eventualmente, appartiene ad $A$.

Infine, la chiusura. L’insieme $A$ è chiuso solo se $M_p, M_d in A$. Questo, una volta calcolati $M_p$ ed $M_d$, è di facile verifica.
(Ma, “ad occhio”, non credo sia il caso.)

[salvatoresambito]

Grazie mille