Studio di una serie numerica con parametro
Dire per quali valori del parametro reale x, diverso da 0, converge:
$\sum_{n=0}^infty ln(1+1/n((x-1)/(x))^(2n)) $
Avrei bisogno di aiuto con questo esercizio. So che è una serie a termini positivi, però non so cosa mi conviene utilizzare per provare a studiarla. Escluderei il criterio del rapporto e della radice. Però anche con l'asintoticità e gli sviluppi di Taylor non mi vengono in mente idee.
Edit: ho pensato di riscrivere la serie in questo modo, secondo voi può essere la strada giusta?
$\sum_{n=0}^infty ln(1+1/n((x-1)/(x))^(2n)) = \sum_{n=0}^infty ln(1+1/n(1-1/x)^(2n))=\sum_{n=0}^infty ln(1+1/n(1-1/x)^x)^(2n/x))= \sum_{n=0}^infty ln (1+1/n(1/(e^(2n/x)))) $
$\sum_{n=0}^infty ln(1+1/n((x-1)/(x))^(2n)) $
Avrei bisogno di aiuto con questo esercizio. So che è una serie a termini positivi, però non so cosa mi conviene utilizzare per provare a studiarla. Escluderei il criterio del rapporto e della radice. Però anche con l'asintoticità e gli sviluppi di Taylor non mi vengono in mente idee.
Edit: ho pensato di riscrivere la serie in questo modo, secondo voi può essere la strada giusta?
$\sum_{n=0}^infty ln(1+1/n((x-1)/(x))^(2n)) = \sum_{n=0}^infty ln(1+1/n(1-1/x)^(2n))=\sum_{n=0}^infty ln(1+1/n(1-1/x)^x)^(2n/x))= \sum_{n=0}^infty ln (1+1/n(1/(e^(2n/x)))) $
Risposte
Ciao BuioPesto,
mi piace il tuo nickname, c'è qualche riferimento alla materia Analisi matematica?
Per la serie proposta intanto osserverei che non può partire da $n = 0 $, altrimenti non sarebbe definito $1/n $, poi userei la disuguaglianza $ln(1 + y) \le y $, valida $\AA y \ge 0 $, sicché si ha:
$ \sum_{n=1}^{+\infty} ln(1+1/n((x-1)/(x))^(2n)) \le \sum_{n=1}^{+\infty} 1/n((x-1)/(x))^(2n) = \sum_{n=1}^{+\infty} 1/n[(1 - 1/x)^2]^n $
L'ultima serie scritta ti suggerisce niente?
mi piace il tuo nickname, c'è qualche riferimento alla materia Analisi matematica?
Per la serie proposta intanto osserverei che non può partire da $n = 0 $, altrimenti non sarebbe definito $1/n $, poi userei la disuguaglianza $ln(1 + y) \le y $, valida $\AA y \ge 0 $, sicché si ha:
$ \sum_{n=1}^{+\infty} ln(1+1/n((x-1)/(x))^(2n)) \le \sum_{n=1}^{+\infty} 1/n((x-1)/(x))^(2n) = \sum_{n=1}^{+\infty} 1/n[(1 - 1/x)^2]^n $
L'ultima serie scritta ti suggerisce niente?
"BuioPesto":
Edit: ho pensato di riscrivere la serie in questo modo, secondo voi può essere la strada giusta?
$\sum_{n=0}^infty ln(1+1/n((x-1)/(x))^(2n)) = \sum_{n=0}^infty ln(1+1/n(1-1/x)^(2n))=\sum_{n=0}^infty ln(1+1/n(1-1/x)^x)^(2n/x))= \sum_{n=0}^infty ln (1+1/n(1/(e^(2n/x)))) $
Questo non funziona, per due motivi:
(i) $x$ è un parametro fissato a priori, perciò non puoi usare che $\lim_{x \to +\infty} \left(1-\frac{1}{x}\right)^x =1/e$;
(ii) anche se $x$ variasse, non si sta considerando alcun limite per $x \to +\infty$.
"pilloeffe":
Ciao BuioPesto,
mi piace il tuo nickname, c'è qualche riferimento alla materia Analisi matematica?
Per la serie proposta intanto osserverei che non può partire da $n = 0 $, altrimenti non sarebbe definito $1/n $, poi userei la disuguaglianza $ln(1 + y) \le y $, valida $\AA y \ge 0 $, sicché si ha:
$ \sum_{n=1}^{+\infty} ln(1+1/n((x-1)/(x))^(2n)) \le \sum_{n=1}^{+\infty} 1/n((x-1)/(x))^(2n) = \sum_{n=1}^{+\infty} 1/n[(1 - 1/x)^2]^n $
L'ultima serie scritta ti suggerisce niente?
Nickname nel senso che brancolo nel buio?
Comunque, considerando anche il commento successivo che mi ha fatto capire che la mia idea iniziale è impraticabile, partirò dal tuo suggerimento. L'idea che mi viene in mente è che la serie che tu hai scritto sembra essere una serie geometria di ragione $q=(1 - 1/x)^2$. Per cui a questo punto, per studiarne la convergenza, mi basterebbe vedere quando $|q|<1$. In teoria il termine $1/n$ non dovrebbe darmi fastidio, perchè l'esponenziale è un infinito di ordine superiore rispetto alla potenza.
E' corretto come ragionamento?
Grazie mille ad entrambi per la risposta!
"BuioPesto":
L'idea che mi viene in mente è che la serie che tu hai scritto sembra essere una serie geometrica
Beh, non proprio una serie geometrica, ma diciamo la sua integrazione...
Posto per comodità $t := (1 - 1/x)^2 $, la serie è del tipo
$\sum_{n = 1}^{+\infty} t^n/n = - ln(1 - t) $
per $ - 1 \le t < 1 $, sicché tornando alla $x$ si ha:
$\sum_{n=1}^{+\infty} ln(1+1/n((x-1)/(x))^(2n)) \le \sum_{n=1}^{+\infty} 1/n((x-1)/(x))^(2n) = \sum_{n=1}^{+\infty} 1/n[(1 - 1/x)^2]^n = $
$ = - ln(1 - (1 - 1/x)^2) = - ln(1 - 1 + 2/x - 1/x^2) = - ln((2x - 1)/x^2) $
per $ 0 \le (1 - 1/x)^2 < 1 \iff x > 1/2 $
"pilloeffe":
Posto per comodità $t := (1 - 1/x)^2 $, la serie è del tipo
$\sum_{n = 1}^{+\infty} t^n/n = - ln(1 - t) $
Non mi è chiaro in che modo hai ottenuto $- ln(1 - t)$. In che senso è l'integrazione di una serie geometrica?
@BuioPesto Prego!
Non so se BuioPesto ha già studiato l'integrazione termine a termine per serie, visto che in alcuni corsi le serie si fanno ad analisi $1$ ma, sempre in alcuni corsi, la convergenza uniforme si vede solo ad analisi $2$. Certo, si potrebbe riconoscere che quella è una serie di Taylor della quale si conosce la somma. In sostanza, la domanda sostanziale è: che cosa ha studiato BuioPesto durante il tuo corso di analisi?
Essendo la serie a termini non negativi, io procederei direttamente col criterio del confronto asintotico. Innanzitutto, per gli $x \ne 0$ tali che $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{2n} \ne 0$ la serie non converge in quanto non è verificata la condizione necessaria di convergenza (a te il calcolo di tali $x$). Invece, per gli $x \ne 0$ tali che $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{2n} = 0$ possiamo usare che $\log(1+u) \approx u$ per $u \to 0$ e quindi, per il criterio del confronto asintotico, il carattere della serie proposta è equivalente al carattere della serie:
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{\left(1-\frac{1}{x}\right)^{2n}}{n}$$
Quest'ultima si studia agevolmente con il criterio della radice. Se BuioPesto vorrà confermare il suo lavoro, potrà scrivere lo svolgimento qui e lo controlleremo volentieri!
Che intendi qui? Attenzione che non stai calcolando un limite, ma il carattere di una serie. La situazione è un po' più complicata ed è facile sbagliarsi.
Non so se BuioPesto ha già studiato l'integrazione termine a termine per serie, visto che in alcuni corsi le serie si fanno ad analisi $1$ ma, sempre in alcuni corsi, la convergenza uniforme si vede solo ad analisi $2$. Certo, si potrebbe riconoscere che quella è una serie di Taylor della quale si conosce la somma. In sostanza, la domanda sostanziale è: che cosa ha studiato BuioPesto durante il tuo corso di analisi?
Essendo la serie a termini non negativi, io procederei direttamente col criterio del confronto asintotico. Innanzitutto, per gli $x \ne 0$ tali che $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{2n} \ne 0$ la serie non converge in quanto non è verificata la condizione necessaria di convergenza (a te il calcolo di tali $x$). Invece, per gli $x \ne 0$ tali che $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{2n} = 0$ possiamo usare che $\log(1+u) \approx u$ per $u \to 0$ e quindi, per il criterio del confronto asintotico, il carattere della serie proposta è equivalente al carattere della serie:
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{\left(1-\frac{1}{x}\right)^{2n}}{n}$$
Quest'ultima si studia agevolmente con il criterio della radice. Se BuioPesto vorrà confermare il suo lavoro, potrà scrivere lo svolgimento qui e lo controlleremo volentieri!
"BuioPesto":
In teoria il termine $1/n$ non dovrebbe darmi fastidio, perchè l'esponenziale è un infinito di ordine superiore rispetto alla potenza.
Che intendi qui? Attenzione che non stai calcolando un limite, ma il carattere di una serie. La situazione è un po' più complicata ed è facile sbagliarsi.
"BuioPesto":
In che senso è l'integrazione di una serie geometrica?
Beh, per una rapida verifica prova a derivare i due membri...
Per il primo membro:
$\sum_{n = 1}^{+\infty} n t^{n - 1}/n = \sum_{n = 1}^{+\infty} t^{n - 1} = \sum_{k = 0}^{+\infty} t^k $
Per il secondo membro:
$ (\text{d})/(\text{d}t)[- ln(1 - t)] = - 1/(1 - t)(- 1) = 1/(1 - t) $
naturalmente per $|t| < 1 $
Naturalmente si può usare direttamente la serie che dovresti conoscere
$ln(1 + x) = \sum_{n = 1}^{+\infty} (- 1)^{n + 1} x^n/n $
e poi porre $x := - t$:
$ln(1 - t) = \sum_{n = 1}^{+\infty} (- 1)^{n + 1} (- t)^n/n = - \sum_{n = 1}^{+\infty} t^n/n \implies \sum_{n = 1}^{+\infty} t^n/n = - ln(1 - t) $
"Mephlip":
@BuioPesto Prego! Non so se BuioPesto ha già studiato l'integrazione termine a termine per serie, visto che in alcuni corsi le serie si fanno ad analisi $1$ ma, sempre in alcuni corsi, la convergenza uniforme si vede solo ad analisi $2$. Certo, si potrebbe riconoscere che quella è una serie di Taylor della quale si conosce la somma.
Essendo la serie a termini non negativi, io procederei direttamente col criterio del confronto asintotico. Innanzitutto, per gli $x \ne 0$ tali che $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{2n} \ne 0$ la serie non converge in quanto non è verificata la condizione necessaria di convergenza (a te il calcolo di tali $x$). Invece, per gli $x \ne 0$ tali che $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{2n} = 0$ possiamo usare che $\log(1+u) \approx u$ per $u \to 0$ e quindi, per il criterio del confronto asintotico, il carattere della serie proposta è equivalente al carattere della serie:
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{\left(1-\frac{1}{x}\right)^{2n}}{n}$$
Quest'ultima si studia agevolmente con il criterio della radice. Se BuioPesto vorrà confermare il suo lavoro, potrà scrivere lo svolgimento qui e lo controlleremo volentieri!
[quote="BuioPesto"]In teoria il termine $1/n$ non dovrebbe darmi fastidio, perchè l'esponenziale è un infinito di ordine superiore rispetto alla n al denominatore.
Che intendi qui? Attenzione che non stai calcolando un limite, ma il carattere di una serie. La situazione è un po' più complicata ed è facile sbagliarsi.[/quote]
Condizione necessaria di convergenza.
Io direi che $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{2n}=\lim_{n \to +\infty} 1/n e^(2nln(1+1/x)$. Questo limite diverge a $+infty$ quando $ln(1+1/x)>0$. In questo caso, infatti, l'esponenziale va ad infinito più rapidamente del termine n, e quindi il limite fa $+infty$.
$ln(1-1/x)>0$ $hArr$ $x<0$
Il caso $x=0$ è escluso dall'inizio.
Per $x>0$ la condizione necessaria di convergenza è rispettata. Tuttavia, tale condizione necessaria non è sufficiente, e quindi devo studiare la serie. Come suggerivi tu, studiamo il carattere della serie $$\sum_{n=1}^\infty \frac{\left(1-\frac{1}{x}\right)^{2n}}{n}$$ con il criterio della radice.
$\lim_{n \to +\infty } root(n){(1-1/x)^(2n)/n}= \lim_{n \to +\infty } (1-1/x)^2/root(n)(n)
$
Sappiamo che $root(n)(n)=1$, pertanto il limite tende a $(1-1/x)^2$. Trovandoci nella condizione in cui $x>0$, allora sicuramente $(1-1/x)^2$<1. Perciò per $x>0$ la serie converge.
Mi viene diverso da quanto scritto precedentemente da Pilloeffe quindi immagino di aver sbagliato qualcosa
"BuioPesto":
quindi immagino di aver sbagliato qualcosa
Eh sì...
$(1 - 1/x)^2 < 1 \iff 1 - 2/x + 1/x^2 < 1 \iff x^2 - 2x + 1 < x^2 \iff - 2x + 1 < 0 \iff 2x > 1 \iff x > 1/2 $
"pilloeffe":
[quote="BuioPesto"]quindi immagino di aver sbagliato qualcosa
Eh sì...
$(1 - 1/x)^2 < 1 \iff 1 - 2/x + 1/x^2 < 1 \iff x^2 - 2x + 1 < x^2 \iff - 2x + 1 < 0 \iff 2x > 1 \iff x > 1/2 $[/quote]
Ok quindi l'errore è "solo" nell'ultimo passaggio, dove avrei dovuto risolvere la disequazione di secondo grado, non dare per scontato che il termine fosse sempre minore di uno, oppure ci sono altri errori?
Grazie mille ad entrambi in ogni caso!
Prego! Dopo aver osservato le correzioni fatte da pilloeffe, va bene. Ma non è finita: c'è anche da discutere cosa avviene quando $x=1/2$, perché per tale valore il limite del criterio della radice è $1$ e in quel caso il criterio della radice non ti dà informazioni. Per fare ciò, basta sostituire $x=1/2$ nella serie di partenza e studiarla come una serie numerica priva di parametri.
Inoltre, un paio di consigli sull'esposizione: non è $\root[n]{n}=1$, bensì $\lim_{n\to +\infty} \root[n]{n}=1$. Infine, il limite non "tende"; il limite "è". Al più, si dice che una successione/funzione tende ad un certo valore, ma o usi "tende" e non introduci la parola "limite" o dici "il limite "è". Mischiarle non va bene.
Inoltre, un paio di consigli sull'esposizione: non è $\root[n]{n}=1$, bensì $\lim_{n\to +\infty} \root[n]{n}=1$. Infine, il limite non "tende"; il limite "è". Al più, si dice che una successione/funzione tende ad un certo valore, ma o usi "tende" e non introduci la parola "limite" o dici "il limite "è". Mischiarle non va bene.
"Mephlip":
Prego! Dopo aver osservato le correzioni fatte da pilloeffe, va bene. Ma non è finita: c'è anche da discutere cosa avviene quando $x=1/2$, perché per tale valore il limite del criterio della radice è $1$ e in quel caso il criterio della radice non ti dà informazioni. Per fare ciò, basta sostituire $x=1/2$ nella serie di partenza e studiarla come una serie numerica priva di parametri.
Inoltre, un paio di consigli sull'esposizione: non è $\root[n]{n}=1$, bensì $\lim_{n\to +\infty} \root[n]{n}=1$. Infine, il limite non "tende"; il limite "è". Al più, si dice che una successione/funzione tende ad un certo valore, ma o usi "tende" e non introduci la parola "limite" o dici "il limite "è". Mischiarle non va bene.
Giusto!
se $x=1/2$ ho $\sum_{k=1}^infty ln(1+1/n(-1)^(2n))=\sum_{k=1}^infty ln(1/n)$ perchè $(-1)^(2n)=1^n=1$
Questa serie diverge perchè non è rispettata la condizione necessaria di convergenza. Infatti, per n che tende a $+infty$, $ln(1/n)$ tende a $-infty$. E' un ragionamento corretto?
p.s. grazie per le precisazioni terminologiche!
"BuioPesto":
E' un ragionamento corretto?
No, non lo è...
La serie $\sum_{n = 1}^{+\infty} ln(1 + 1/n) $ si comporta come la serie armonica, com'è noto positivamente divergente. Il che corrisponde al fatto che $\lim_{x \to (1/2)^+} - ln((2x - 1)/x^2) = +\infty $
"pilloeffe":
[quote="BuioPesto"]E' un ragionamento corretto?
No, non lo è...
La serie $\sum_{n = 1}^{+\infty} ln(1 + 1/n) $ si comporta come la serie armonica, com'è noto positivamente divergente. Il che corrisponde al fatto che $\lim_{x \to (1/2)^+} - ln((2x - 1)/x^2) = +\infty $[/quote]
Hai ragione! Ho tralasciato il termine 1 davanti ad $1/n$ senza alcun motivo
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