Studio di una serie numerica
[tex]\sum_{n \to 1 }^{\infty}\frac{n^{nx}}{n!}[/tex]
Dovrebbe essere a termini positivi.
Per [tex]x\geq 1[/tex] diverge poichè non soddisfa la condizione necessaria alla convergenza.
Per x=0 dovrebbe diventare
[tex]\frac{1}{n!}[/tex]
Che con il corollario al criterio del rapporto converge.
Per [tex]x<0[/tex] [tex]\frac{n^{-nx}}{n!}[/tex]
SI può scrivere così?
[tex]\frac{1}{n!(n^{nx})}[/tex]
[tex]\frac{1}{n!(n^{nx})}<\frac{1}{n!}[/tex].
Per il criterio del confronto converge....
Dovrebbe essere a termini positivi.
Per [tex]x\geq 1[/tex] diverge poichè non soddisfa la condizione necessaria alla convergenza.
Per x=0 dovrebbe diventare
[tex]\frac{1}{n!}[/tex]
Che con il corollario al criterio del rapporto converge.
Per [tex]x<0[/tex] [tex]\frac{n^{-nx}}{n!}[/tex]
SI può scrivere così?
[tex]\frac{1}{n!(n^{nx})}[/tex]
[tex]\frac{1}{n!(n^{nx})}<\frac{1}{n!}[/tex].
Per il criterio del confronto converge....
Risposte
"Darèios89":
[tex]\sum_{n \to 1 }^{\infty}\frac{n^{nx}}{n!}[/tex]
Dovrebbe essere a termini positivi.
Per [tex]x\geq 1[/tex] diverge poichè non soddisfa la condizione necessaria alla convergenza.
Per x=0 dovrebbe diventare
[tex]\frac{1}{n!}[/tex]
Che con il corollario al criterio del rapporto converge.
Per [tex]x<0[/tex] [tex]\frac{n^{-nx}}{n!}[/tex]
SI può scrivere così? non è corretto lasciare x e cambiare segno. potresti eventualmente ricorrere ad un parametro ausiliario...
[tex]\frac{1}{n!(n^{nx})}[/tex]
[tex]\frac{1}{n!(n^{nx})}<\frac{1}{n!}[/tex].
Per il criterio del confronto converge....
ti posso ricordare la formula si Stirling, se puoi usarla: per $n$ sufficientemente grande, $n! cong n^n e^(-n) sqrt(2 pi n)$.
di per sé, la frazione non si semplifica, però si potrebbe avere qualche utile indicazione passando ai logaritmi di numeratore e denominatore, perché in tal caso il limite (della successione dei rapporti di logaritmi...!) diventerebbe $x$.
ignorando questo suggerimento ed utilizzando la formula di Stirling, il rapporto tra il termine $(n+1)$-esimo e il termine $n$-esimo è questo, se non ho sbagliato i conti:
$(n+1)^((n+1)(x-1))*n^(n(1-x))*e*sqrt(n/(n+1))$
spero di essere stata utile.
lascio il resto qualcuno più "fresco". ciao.
se non ho scritto baggianate in precedenza, con qualche piccolo calcolo il rapporto tra i due termini verrebbe:
$[(1+1/n)^n]^(x-1)*e*(n/(n+1))^(1/2)*(n+1)^(x-1) -> e^x*(n+1)^(x-1)$ (con un parziale passaggio ai limiti)
e con $x>=1$ la serie divergerebbe, mentre convergerebbe con $x<1$
sono curiosa anch'io di leggere altre soluzioni.
$[(1+1/n)^n]^(x-1)*e*(n/(n+1))^(1/2)*(n+1)^(x-1) -> e^x*(n+1)^(x-1)$ (con un parziale passaggio ai limiti)
e con $x>=1$ la serie divergerebbe, mentre convergerebbe con $x<1$
sono curiosa anch'io di leggere altre soluzioni.
Mi spiace....ma non abbiamo fatto Stirling...nè, se ti stesse venendo in mente, il criterio del confronto ASINTOTICO..... 
Puoi utilizzare il criterio del rapporto che viene bene.
Non sono riuscito a capire se ada ha usato questo.
Per quanto ruguarda te (Dareios) ti consiglio di dare un'occhiata sia a Stirling che al confronto asintotico.
Non sono riuscito a capire se ada ha usato questo.
Per quanto ruguarda te (Dareios) ti consiglio di dare un'occhiata sia a Stirling che al confronto asintotico.
sì, ho usato il "rapporto" ma con Stirling (ormai mi ero avventurata...), ma viene nello stesso modo senza Stirling:
$(n+1)^((n+1)x)/((n+1)!)*(n!)/(n^(nx))=((n+1)/n)^(nx)*((n+1)^x)/(n+1)=[(1+1/n)^n]^x*(n+1)^(x-1)$
$(n+1)^((n+1)x)/((n+1)!)*(n!)/(n^(nx))=((n+1)/n)^(nx)*((n+1)^x)/(n+1)=[(1+1/n)^n]^x*(n+1)^(x-1)$
"DajeForte":
Puoi utilizzare il criterio del rapporto che viene bene.
Non sono riuscito a capire se ada ha usato questo.
Per quanto ruguarda te (Dareios) ti consiglio di dare un'occhiata sia a Stirling che al confronto asintotico.
Te l'avevo scritto proprio sopra
Non li posso usare perchè non li abbiamo fatti.
Comunque si con il "corollario" al criterio del rapporto risulta convergente no?
L'abbiamo trattatata nel caso x<0?
Allora quando studio il caso x<0 non devo mettere il meno come ho fatto io, la serie rimane com'è e si studia per come la trovo giusto?
Ma questo metodo va bene anche per studiarla se [tex]0
"adaBTTLS":
sì, ho usato il "rapporto" ma con Stirling (ormai mi ero avventurata...), ma viene nello stesso modo senza Stirling:
$(n+1)^((n+1)x)/((n+1)!)*(n!)/(n^(nx))=((n+1)/n)^(nx)*((n+1)^x)/(n+1)=[(1+1/n)^n]^x*(n+1)^(x-1)$
questo calcolo ti porta allo stesso risultato di cui sopra: con "parziale limite " (cioè con il limite notevole $e$) e lasciando invariata l'altra parte, hai:
$e^x*(n+1)^(x-1)$ da cui la convergenza per $x<1$ (compresi i casi $x<0$ e $x=0$).
Ah giusto, quindi la serie così è stata studiata in tutti i casi.
Grazie mille.
Grazie mille.
prego!
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