Studio di una serie numerica

[Gh3rra]

Salve a tutti dovrei studiare il carattere di questa serie:

\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n+1}{n 5^n}\left(\frac{5}{2}\right)^n \)

Sia effettuando il criterio del rapporto che della radice mi esce il limite uguale a 1 quindi non so come poter studiare la seguente serie:

\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{\frac{2^n+1}{n 5^n}\left(\frac{5}{2}\right)^n} = 1 \)

\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{(2^{n+1}+1)n}{(n+1) 2(2^n+1)}= 1\)

Qualcuno potrebbe aiutarmi?

[megas_archon]

Beh, mi sembra che \( \frac{2^n+1}{n 5^n}\left(\frac{5}{2}\right)^n \) sia esattamente uguale a \( \frac{2^n+1}{n}\frac{1}{2^n} =\frac{1}{n}\left(1+\frac1{2^n}\right)\), il quale...

[Gh3rra]

@megas_archon

$\frac{1}{n}$ è una serie armonica che diverge e $\left(1+\frac{1}{2^n}\right)$ tende a 1 quindi possiamo dire che $\frac{2^n+1}{n}\frac{1}{2^n}~\frac{1}{n}$ e confermare che diverge?

[megas_archon]

Beh, detta \(a_n\) la tua successione, si ha \(\frac1n \le a_n\) per ogni $n$, sicché...

[pilloeffe]

Ciao Gh3rra,

"Gh3rra":Qualcuno potrebbe aiutarmi?

Molto più semplicemente di quanto hai fatto, per confronto:

$ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2^n+1}{n 5^n}(\frac{5}{2})^n > \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2^n}{n 5^n}(\frac{5}{2})^n = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n} $

Dato che l'ultima scritta è la serie armonica, notoriamente divergente...