Studio di una serie numerica
ciao a tutti! ho questa serie e ne devo studiare il carattere per $ alpha in R $
$ sum_(n = \1)^(+oo ) (n^alpha-ln(1+n^alpha))/(sqrt(1-cos(1/n))) $
ho utilizzato il criterio del confronto asintotico:
$ lim_(n -> +oo )ln(1+n^alpha)/ln(n^alpha)=1 $ quindi sostituisco $ln(1+n^alpha)$ con $(n^alpha)$
$ lim_(n -> +oo )(1-cos(1/n))/(1/n^2)=1/2 $ quindi sostituisco $ 1-cos(1/n) $con $1/n^2 $
risulta dunque $ sum_(n = \1) ^(oo )(n^alpha-ln(n^alpha))/sqrt(1/n^2) $
dato che $n^alpha$ è di ordine maggiore rispetto $ln(n^alpha)$ , la serie risulta
$ sum_(n = \1) ^(oo )(n^alpha)/(1/n) $ = $ sum_(n = \1) ^(oo )(n^(alpha+1)) $
quindi la serie è convergente per $alpha+1<1$
è corretto il procedimento? grazie per le risposte
$ sum_(n = \1)^(+oo ) (n^alpha-ln(1+n^alpha))/(sqrt(1-cos(1/n))) $
ho utilizzato il criterio del confronto asintotico:
$ lim_(n -> +oo )ln(1+n^alpha)/ln(n^alpha)=1 $ quindi sostituisco $ln(1+n^alpha)$ con $(n^alpha)$
$ lim_(n -> +oo )(1-cos(1/n))/(1/n^2)=1/2 $ quindi sostituisco $ 1-cos(1/n) $con $1/n^2 $
risulta dunque $ sum_(n = \1) ^(oo )(n^alpha-ln(n^alpha))/sqrt(1/n^2) $
dato che $n^alpha$ è di ordine maggiore rispetto $ln(n^alpha)$ , la serie risulta
$ sum_(n = \1) ^(oo )(n^alpha)/(1/n) $ = $ sum_(n = \1) ^(oo )(n^(alpha+1)) $
quindi la serie è convergente per $alpha+1<1$
è corretto il procedimento? grazie per le risposte
Risposte
"claudette":
la serie risulta
$ sum_(n = \1) ^(oo )(n^alpha)/(1/n) $ = $ sum_(n = \1) ^(oo )(n^(alpha+1)) $
quindi la serie è convergente per $alpha+1<1$
è corretto il procedimento?
Il procedimento abbastanza*, la conclusione no
Perché? 
__________________________
[size=85]*anche se in questo caso non è stato fatale, non puoi sempre sostituire con tanta disinvoltura un infinito/infinitesimo con un altro equivalente, quando questo è coinvolto in una somma. Nel caso non fosse chiaro, parlo del logaritmo...
[/size]
EDIT: ah, pensavo fosse $\alpha >0$. No, allora non va il procedimento
per $alpha >0$ posso lasciare così il procedimento? forse il risultato è $alpha+1<-1$ ma a questo punto non c'è soluzione..
e per $alpha<0$ invece da che parte comincio?
altrimenti mi daresti per favore un indizio di quale sarebbe il procedimento corretto? grazie
e per $alpha<0$ invece da che parte comincio?
altrimenti mi daresti per favore un indizio di quale sarebbe il procedimento corretto? grazie
No, no mi sa che ti stai confondendo con la serie armonica 
Comunque, quando ci sono parametri a romper le scatole, in genere ti conviene accertarti per quali valori del parametro è verificata la condizione necessaria alla convergenza. In questo caso quando è verificata? Ovvero per quali $\alpha$ il termine generale della serie è infinitesimo?
Comunque, quando ci sono parametri a romper le scatole, in genere ti conviene accertarti per quali valori del parametro è verificata la condizione necessaria alla convergenza. In questo caso quando è verificata? Ovvero per quali $\alpha$ il termine generale della serie è infinitesimo?
il termine generale è infinitesimo per $alpha<0$ quindi il caso $alpha>0$ non lo considero proprio..
Bene, per $\alpha>0$ la serie diverge...per $\alpha=0$ il termine generale è identicamente nullo e non ci sono problemi. Per $\alpha<0$ hai che
\[n^\alpha-\ln(1+n^\alpha)\sim n^{2\alpha}/2\]
Considerando anche le tue osservazioni sul coseno, in definitiva abbiamo (grazie al criterio di confronto asintotico) che la tua serie ha lo stesso carattere della serie di termine generale
\[\dfrac{n^{2\alpha+1} }{2}\]
Concludi tu?
\[n^\alpha-\ln(1+n^\alpha)\sim n^{2\alpha}/2\]
Considerando anche le tue osservazioni sul coseno, in definitiva abbiamo (grazie al criterio di confronto asintotico) che la tua serie ha lo stesso carattere della serie di termine generale
\[\dfrac{n^{2\alpha+1} }{2}\]
Concludi tu?
grazie per la spiegazione
in teoria dovrebbe convergere per $2*alpha+1<0$ quindi $alpha<-1/2$
in teoria dovrebbe convergere per $2*alpha+1<0$ quindi $alpha<-1/2$
Mmh no ...se poni $\beta:=-\alpha>0$ pui scrivere
\[n^{2\alpha+1}=n^{-2\beta+1}=n^{-(2\beta-1)}=\dfrac{1}{n^{2\beta-1}}\]
E' più chiaro ora?
...se poni $\beta:=-\alpha>0$ pui scrivere\[n^{2\alpha+1}=n^{-2\beta+1}=n^{-(2\beta-1)}=\dfrac{1}{n^{2\beta-1}}\]
E' più chiaro ora?
si chiaro grazie ancora..
ora posso prendere in considerazione la serie armonica giusto?
e fare $2beta-1>1 rarr beta>1$
quindi $alpha<-1$
o la serie armonica in questo caso non centra niente?
grazie ancora..ora posso prendere in considerazione la serie armonica giusto?
e fare $2beta-1>1 rarr beta>1$
quindi $alpha<-1$
o la serie armonica in questo caso non centra niente?
Ma come non c'entra niente? E' proprio lei, è la serie armonica generalizzata!
Ok per il risultato
E' proprio lei, è la serie armonica generalizzata! Ok per il risultato
ah ok pensavo di nuovo di essere fuori strada visto l'uso inappropriato della prima volta..grazie per l'aiuto!
pensavo di nuovo di essere fuori strada visto l'uso inappropriato della prima volta..grazie per l'aiuto!
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