Studio di una serie e limite di una successione
Ho bisogno di una mano con questo problema.
Il testo:
Data la serie $ sum(1/(n ln(n+1))) $
si osservi che essa ha lo stesso comportamento della serie $ sum (1/(n sum (1/k))) $ , che è divergente.
Le due serie hanno lo stesso carattere in quanto il rapporto dei rispettivi termini converge a 1/e.
Questo è quanto.
In effetti $ (1/(n ln(n+1))/1/(n sum (1/k))) $ è decrescente, con primo termine 1/ln(2), positivo ed appurato che converge ad una quantità positiva, le due serie hanno lo stesso carattere.
Ma come calcolo il limite di questo rapporto? Il fatto che uno dei due termini contempla una somma, mi confonde. Mi serve un suggerimento.
Inoltre, per la seconda serie, $ sum (1/(n sum (1/k))) $, come ne ricavo il carattere?
Ammetto che con le serie ho molta strada da fare
Il testo:
Data la serie $ sum(1/(n ln(n+1))) $
si osservi che essa ha lo stesso comportamento della serie $ sum (1/(n sum (1/k))) $ , che è divergente.
Le due serie hanno lo stesso carattere in quanto il rapporto dei rispettivi termini converge a 1/e.
Questo è quanto.
In effetti $ (1/(n ln(n+1))/1/(n sum (1/k))) $ è decrescente, con primo termine 1/ln(2), positivo ed appurato che converge ad una quantità positiva, le due serie hanno lo stesso carattere.
Ma come calcolo il limite di questo rapporto? Il fatto che uno dei due termini contempla una somma, mi confonde. Mi serve un suggerimento.
Inoltre, per la seconda serie, $ sum (1/(n sum (1/k))) $, come ne ricavo il carattere?
Ammetto che con le serie ho molta strada da fare
Risposte
Confermo che diverge, ma la tua dimostrazione non l'ho capita. C'è un criterio non ricordo a chi è dovuto, ma basta sostituire a ogni $n$ $2^n$ e moltiplicare il tutto sempre per $2^n$ e allora ti accorgi di avere un serie armonica che ovviamente diverge, ergo diverge anche la serie data, qui è applicabile.
"regim":
C'è un criterio non ricordo a chi è dovuto
http://it.wikipedia.org/wiki/Criterio_d ... _di_Cauchy
Quello che sto per scrivere potrebbe essere errato, la correttezza dipende dagli estremi della sommatoria.
In pratica dobbiamo considerare:
[tex]\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{n\log(n+1)}}{\displaystyle\frac{1}{n\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}}}= \displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}}{\log(n+1)}[/tex].
Alcune considerazioni. Poniamo [tex]f(x)= \frac{1}{x}\quad \text{ con } x\in [1,+ \infty)[/tex]. Essa è una funzione positiva decrescente, ed è tale che
[tex]f(x)\le f(1)=1 \quad\forall x\in [1,+ \infty)[/tex], sotto queste condizioni è possibile dimostrare che
[tex]$\int_{1}^{k+1}f(x)\text{d}x\le \sum_{n=1}^k f(n)\le f(1)+\int_{1}^{k} f(x) \text{d}x\text{ con } k\ge 1, k\in\mathbb{N}[/tex]
cioè:
[tex]$\int_{1}^{k+1}\frac{1}{x}\text{d}x\le \sum_{n=1}^k \frac{1}{n}\le f(1)+\int_{1}^{k} \frac{1}{x} \text{d}x =[/tex]
[tex]$ \log(1+k)\le \sum_{n=1}^k \frac{1}{n}\le 1+\log(k)[/tex], dividendo per [tex]\log(1+k)[/tex] i tre membri, la disuguaglianza si conserva essendo [tex]\log(1+k)>0[/tex].
[tex]$ 1\le \frac{\displaystyle\sum_{n=1}^k \frac{1}{n}}{\log(1+k)}\le \frac{1+\log(k)}{\log(1+k)} \quad \forall k\in\mathbb{N}_{>0}[/tex], passando al limite k, per il teorema dei carabinieri, ottieni che:
[tex]$\lim_{k\to\infty }\frac{\displaystyle\sum_{n=1}^k \frac{1}{n}}{\log(1+k)}=1[/tex].
Dunque [tex]\displaystyle\sum_{n=1}^k \frac{1}{n}\sim \log(1+k), \text{ per } k\to \infty[/tex].
Per dimostrare che la seconda serie diverge è sufficiente determinare il carattere della prima, magari col criterio di condensazione di Cauchy. Se la prima serie (converge/diverge) allora (convergerà/divergerà) anche la seconda
MI auguro non ci siano errori
[Edit]: Perdonate la mia lentezza
In pratica dobbiamo considerare:
[tex]\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{n\log(n+1)}}{\displaystyle\frac{1}{n\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}}}= \displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}}{\log(n+1)}[/tex].
Alcune considerazioni. Poniamo [tex]f(x)= \frac{1}{x}\quad \text{ con } x\in [1,+ \infty)[/tex]. Essa è una funzione positiva decrescente, ed è tale che
[tex]f(x)\le f(1)=1 \quad\forall x\in [1,+ \infty)[/tex], sotto queste condizioni è possibile dimostrare che
[tex]$\int_{1}^{k+1}f(x)\text{d}x\le \sum_{n=1}^k f(n)\le f(1)+\int_{1}^{k} f(x) \text{d}x\text{ con } k\ge 1, k\in\mathbb{N}[/tex]
cioè:
[tex]$\int_{1}^{k+1}\frac{1}{x}\text{d}x\le \sum_{n=1}^k \frac{1}{n}\le f(1)+\int_{1}^{k} \frac{1}{x} \text{d}x =[/tex]
[tex]$ \log(1+k)\le \sum_{n=1}^k \frac{1}{n}\le 1+\log(k)[/tex], dividendo per [tex]\log(1+k)[/tex] i tre membri, la disuguaglianza si conserva essendo [tex]\log(1+k)>0[/tex].
[tex]$ 1\le \frac{\displaystyle\sum_{n=1}^k \frac{1}{n}}{\log(1+k)}\le \frac{1+\log(k)}{\log(1+k)} \quad \forall k\in\mathbb{N}_{>0}[/tex], passando al limite k, per il teorema dei carabinieri, ottieni che:
[tex]$\lim_{k\to\infty }\frac{\displaystyle\sum_{n=1}^k \frac{1}{n}}{\log(1+k)}=1[/tex].
Dunque [tex]\displaystyle\sum_{n=1}^k \frac{1}{n}\sim \log(1+k), \text{ per } k\to \infty[/tex].
Per dimostrare che la seconda serie diverge è sufficiente determinare il carattere della prima, magari col criterio di condensazione di Cauchy. Se la prima serie (converge/diverge) allora (convergerà/divergerà) anche la seconda
MI auguro non ci siano errori
[Edit]: Perdonate la mia lentezza
Se il rapporto tra i termini di due serie a termini positivi è compreso tra due quantità strettamente positive, le due serie si maggiorano reciprocamente. Così se la prima diverge, la seconda diverge. Se la seconda converge, la prima converge.
Il fatto che il rapporto tra i termini è decrescente, considerato questo rapporto è limitato da una parte dal valore assunto per n=1, dall'altra dallo zero, fa si che le due serie hanno lo stesso carattere. Inoltre, una successione monotona decrescente limitata inferiormente converge al suo estremo inferiore, che in questo caso dovrebbe essere 1/e. Ma non so calcolare il limite.
Conosco il criterio di Cauchy e quella che suggerisci è sicuramente un'altra strada percorribile. Ma vorrei riuscire a calcolare il limite e ricavare il carattere della seconda serie.
Voi come attacchereste questo problema? Come ricavereste il limite del rapporto tra i termini delle due serie, che dovrebbe essere 1/e? E come ricavereste il carattere della seconda serie.
Se non sbaglio Cauchy l'hai applicato alla prima serie, così da avere il termine n-simo $ 1/ln(2^n + 1) $ che per n crescente si può considerare uguale a $ 1/(nln2) $.
Il fatto che il rapporto tra i termini è decrescente, considerato questo rapporto è limitato da una parte dal valore assunto per n=1, dall'altra dallo zero, fa si che le due serie hanno lo stesso carattere. Inoltre, una successione monotona decrescente limitata inferiormente converge al suo estremo inferiore, che in questo caso dovrebbe essere 1/e. Ma non so calcolare il limite.
Conosco il criterio di Cauchy e quella che suggerisci è sicuramente un'altra strada percorribile. Ma vorrei riuscire a calcolare il limite e ricavare il carattere della seconda serie.
Voi come attacchereste questo problema? Come ricavereste il limite del rapporto tra i termini delle due serie, che dovrebbe essere 1/e? E come ricavereste il carattere della seconda serie.
Se non sbaglio Cauchy l'hai applicato alla prima serie, così da avere il termine n-simo $ 1/ln(2^n + 1) $ che per n crescente si può considerare uguale a $ 1/(nln2) $.
Molto probabilmente ho sbagliato qualcosa...
Mi potresti dire gli estremi della somma [tex]\sum\frac{1}{k}[/tex]? Forse potrebbe dipendere da questo
Mi potresti dire gli estremi della somma [tex]\sum\frac{1}{k}[/tex]? Forse potrebbe dipendere da questo
"dissonance":
[quote="regim"]C'è un criterio non ricordo a chi è dovuto
http://it.wikipedia.org/wiki/Criterio_d ... _di_Cauchy[/quote]
Pensavo fosse di knopp
comunque grazie!
... il mio precedente post l'ho scritto prima di leggere la dimostrazione che hai dato.
Sarà l'ora
ma mi sembra chiaro. Rimane la perplessità sul risultato, 1 piuttosto che 1/e (che da il libro) ... anche se questo non ha influenza sul confronto tra le serie.
grazie a tutti.
Sarà l'ora
ma mi sembra chiaro. Rimane la perplessità sul risultato, 1 piuttosto che 1/e (che da il libro) ... anche se questo non ha influenza sul confronto tra le serie.grazie a tutti.
"Mathematico":
Molto probabilmente ho sbagliato qualcosa...
Mi potresti dire gli estremi della somma [tex]\sum\frac{1}{k}[/tex]? Forse potrebbe dipendere da questo
Rileggendo il tutto mi sembra in effetti che qualcosa non quadra, la prima tua disuguaglianza funziona, per cui non mi risulta vero che il limite possa essere $1/e$, ma la seconda disuguglianza non funziona, e non basta aggiungere $1$.
Ciao Regim, sono un po' perplesso, la seconda disuguaglianza scimmiotta in qualche maniera la dimostrazione del criterio integrale per le serie, per questo ero, come dire, tranquillo 
. Mi dici perchè la seconda disuguaglianza non funziona? Grazie
. Mi dici perchè la seconda disuguaglianza non funziona? Grazie
No hai ragione tu, funziona anche la seconda, trattasi di funzione decrescente quindi annullando il primo uno, il resto si confronta comunque sempre con aree maggiori. In effetti spesso parto in quarta, poi succede che ti sbagli anche sulle stupidaggini, a differenza di te che invece mi sembra le azzecchi tutte, giusto?
Scusa la mia seconda frase, ma ci sbaglia, spesso e non volentieri ovviamente, ma allora se sai che ho sbagliato, a me farebbe piacere che me lo si dica senza troppi preamboli, senza pormi il quesito, ben sapendo di essere nel giusto e l'altro nel torto, trovi piacere nella sevizia?
Scusa la mia seconda frase, ma ci sbaglia, spesso e non volentieri ovviamente, ma allora se sai che ho sbagliato, a me farebbe piacere che me lo si dica senza troppi preamboli, senza pormi il quesito, ben sapendo di essere nel giusto e l'altro nel torto, trovi piacere nella sevizia?
"regim":
No hai ragione tu, funziona anche la seconda, trattasi di funzione decrescente quindi annullando il primo uno, il resto si confronta comunque sempre con aree maggiori. In effetti spesso parto in quarta, poi succede che ti sbagli anche sulle stupidaggini, a differenza di te che invece mi sembra le azzecchi tutte, giusto?
Scusa la mia seconda frase, ma ci sbaglia, spesso e non volentieri ovviamente, ma allora se sai che ho sbagliato, a me farebbe piacere che mi si dica senza troppi preamboli, senza pormi il quesito, ben sapendo di essere nel giusto e l'altro nel torto, trovi piacere nella sevizia?
Hai frainteso il mio messaggio, io ero curioso di sapere cosa non ti convinceva, inoltre sono molto insicuro e per questo appena qualcuno mi dice che quello che scrivo è errato cerco di correggermi, ma visto che in questo caso non trovavo l'errore, volevo capire cosa c'era che non andava. Non era mia intenzione offendere qualcuno e se dal mio messaggio si è capito questo, mi scuso
.[Edit]:
"regim":
[...]trovi piacere nella sevizia?
Sì
"Mathematico":
[quote="regim"]No hai ragione tu, funziona anche la seconda, trattasi di funzione decrescente quindi annullando il primo uno, il resto si confronta comunque sempre con aree maggiori. In effetti spesso parto in quarta, poi succede che ti sbagli anche sulle stupidaggini, a differenza di te che invece mi sembra le azzecchi tutte, giusto?
Scusa la mia seconda frase, ma ci sbaglia, spesso e non volentieri ovviamente, ma allora se sai che ho sbagliato, a me farebbe piacere che mi si dica senza troppi preamboli, senza pormi il quesito, ben sapendo di essere nel giusto e l'altro nel torto, trovi piacere nella sevizia?
Hai frainteso il mio messaggio, io ero curioso di sapere cosa non ti convinceva, inoltre sono molto insicuro e per questo appena qualcuno mi dice che quello che scrivo è errato cerco di correggermi, ma visto che in questo caso non trovavo l'errore, volevo capire cosa c'era che non andava. Non era mia intenzione offendere qualcuno e se dal mio messaggio si è capito questo, mi scuso
.[Edit]:
"regim":
[...]trovi piacere nella sevizia?
Sì
[/quote] ecco mi piace la gente sincera. Guarda errare è umano, e in matematica è ancor più umano! Non c'è bisogno di infierire nei confronti del malcapitato, perchè chi di penna ferisce, ancora non so come, ma di penna perisce.
Mi stai facendo passare per una persona che non sono. A me non piace infierire e il mio "sì" era sarcastico. Speravo di smorzare i toni di una discussione che, a mio modo di vedere, non porta da nessuna parte. Non capisco questo "accanimento" da parte tua.
Ad ogni modo, se vuoi continuare la discussione e chiarire questo malinteso, ci sono i messaggi privati. Io sono molto ben disposto.
Ad ogni modo, se vuoi continuare la discussione e chiarire questo malinteso, ci sono i messaggi privati. Io sono molto ben disposto.
Ma scherzavo, era una battuta la mia, ciao
Touché. 
Non avevo capito
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