Studio di una serie: chi ha ragione?
Ciao ragazzi.
Ho sostenuto l'esame di analisi 1 e la prof. mi ha invalidato l'esercizio che vi posto e che ho correttamente risolto.
Il motivo dell'invalidazione sarebbe l'aver detto di aver usato il criterio del confronto asintotico mentre in realtà il criterio che ho usato avrebbe un altro nome.
Dunque ho due domande:
1) ha ragione la prof. oppure io?
2) se ha ragione la prof, come si chiama il criterio che ho usato io?
Ho sostenuto l'esame di analisi 1 e la prof. mi ha invalidato l'esercizio che vi posto e che ho correttamente risolto.
Il motivo dell'invalidazione sarebbe l'aver detto di aver usato il criterio del confronto asintotico mentre in realtà il criterio che ho usato avrebbe un altro nome.
Dunque ho due domande:
1) ha ragione la prof. oppure io?
2) se ha ragione la prof, come si chiama il criterio che ho usato io?
Risposte
Di queste cose si parla col proprio docente, non con persone che non erano in aula a seguire con te il corso di Analisi I.
Ho già parlato con la docente... proprio per questo ho scritto qui...
perché se rifarò l'esame, dovrò fare di nuovo questo tipo di esercizi...
perché se rifarò l'esame, dovrò fare di nuovo questo tipo di esercizi...
Se non ti è chiaro cosa ti sia stato detto, vai a ricevimento.
Dopotutto, se la questione è di denominazione di teoremi, chi meglio del docente può risponderti?
Dopotutto, se la questione è di denominazione di teoremi, chi meglio del docente può risponderti?
Ciao SalvatCpo,
Non vorrei dar ragione alla tua docente, anche perché la vecchiaia avanza inesorabilmente ed il testo della foto del foglio di calcoli che hai postato lo leggo malissimo, ma da quel poco che mi è parso di aver capito hai fatto un po' di confusione tra stima asintotica, criterio del rapporto e criterio del confronto.
Mi pare che la serie proposta sia la seguente:
$sum_{n = 1}^{+\infty} frac{n}{n^2 + 1} log(1 + 1/n) $
Si tratta di una serie a termini positivi e si ha:
$sum_{n = 1}^{+\infty} frac{n}{n^2 + 1} log(1 + 1/n) \le sum_{n = 1}^{+\infty} frac{n}{n^2 + 1} \cdot 1/n = sum_{n = 1}^{+\infty} frac{1}{n^2 + 1} $
Finora ho solo applicato il criterio del confronto. A questo punto è inutile applicare il criterio del rapporto all'ultima serie scritta, perché il limite verrebbe $1$ e non si avrebbe alcuna informazione sulla convergenza della serie. Possiamo però applicare la stima asintotica, osservando che si ha:
$sum_{n = 1}^{+\infty} frac{1}{n^2 + 1} $[tex]\sim[/tex] $sum_{n = 1}^{+\infty} frac{1}{n^2} = frac{\pi^2}{6} $
Dunque la serie proposta è convergente.
Non vorrei dar ragione alla tua docente, anche perché la vecchiaia avanza inesorabilmente ed il testo della foto del foglio di calcoli che hai postato lo leggo malissimo, ma da quel poco che mi è parso di aver capito hai fatto un po' di confusione tra stima asintotica, criterio del rapporto e criterio del confronto.
Mi pare che la serie proposta sia la seguente:
$sum_{n = 1}^{+\infty} frac{n}{n^2 + 1} log(1 + 1/n) $
Si tratta di una serie a termini positivi e si ha:
$sum_{n = 1}^{+\infty} frac{n}{n^2 + 1} log(1 + 1/n) \le sum_{n = 1}^{+\infty} frac{n}{n^2 + 1} \cdot 1/n = sum_{n = 1}^{+\infty} frac{1}{n^2 + 1} $
Finora ho solo applicato il criterio del confronto. A questo punto è inutile applicare il criterio del rapporto all'ultima serie scritta, perché il limite verrebbe $1$ e non si avrebbe alcuna informazione sulla convergenza della serie. Possiamo però applicare la stima asintotica, osservando che si ha:
$sum_{n = 1}^{+\infty} frac{1}{n^2 + 1} $[tex]\sim[/tex] $sum_{n = 1}^{+\infty} frac{1}{n^2} = frac{\pi^2}{6} $
Dunque la serie proposta è convergente.
Ok @pilloeffe, ho capito quello che hai scritto.
Comunque io non avevo applicato il criterio del rapporto.
Quando devo studiare una serie, quasi sempre (a volte non funziona), io faccio così:
1) cerco una serie che so avere lo stesso carattere della serie data (una serie avente un comportamento "equivalente");
2) calcolo il rapporto delle due serie per n->infinito e, se risulta un numero finito, mostro che le due serie hanno dunque lo stesso carattere. Se tale rapporto è zero OPPURE infinito, allora una delle due diverge e l'altra converge.
Forse questa cosa, che io chiamavo confronto asintotico, tu la chiami "stima asintotica" e, se mi darai conferma, la prossima volta anche io la chiamerò così, perché la prof. non concorda sul nome che le ho dato io.
Cioè l'ultima riga che hai scritto la dovresti e la potresti dimostrare esattamente mostrando che all'infinito il rapporto fra le due serie è un numero finito (nello specifico, vale 1, quindi non solo il comportamento è lo stesso, bensì addirittura il valore numerico della somma è uguale).
Inoltre, una cosa buona per chiarirmi le idee sarebbe se qualcuno mi dicesse COSA è il confronto asintotico...
visto che la prof, i libri e Wikipedia dicono cose diverse !!
Comunque io non avevo applicato il criterio del rapporto.
Quando devo studiare una serie, quasi sempre (a volte non funziona), io faccio così:
1) cerco una serie che so avere lo stesso carattere della serie data (una serie avente un comportamento "equivalente");
2) calcolo il rapporto delle due serie per n->infinito e, se risulta un numero finito, mostro che le due serie hanno dunque lo stesso carattere. Se tale rapporto è zero OPPURE infinito, allora una delle due diverge e l'altra converge.
Forse questa cosa, che io chiamavo confronto asintotico, tu la chiami "stima asintotica" e, se mi darai conferma, la prossima volta anche io la chiamerò così, perché la prof. non concorda sul nome che le ho dato io.
Cioè l'ultima riga che hai scritto la dovresti e la potresti dimostrare esattamente mostrando che all'infinito il rapporto fra le due serie è un numero finito (nello specifico, vale 1, quindi non solo il comportamento è lo stesso, bensì addirittura il valore numerico della somma è uguale).
Inoltre, una cosa buona per chiarirmi le idee sarebbe se qualcuno mi dicesse COSA è il confronto asintotico...
visto che la prof, i libri e Wikipedia dicono cose diverse !!
Appunto... Come ho già detto, è questione di nomenclatura.
Solo il docente può chiarire.
Solo il docente può chiarire.
Pur essendo senz'altro d'accordo con gugo82, vorrei spiegarti come stanno le cose per me (il che non significa che siano valide in generale né tantomeno che corrispondano alla nomenclatura che avete usato nel tuo corso di Analisi I, che per ovvi motivi non posso conoscere), anche perché hai scritto delle cose inesatte.
Se qualcuno te lo dice poi me lo fai sapere. Per me il confronto asintotico non esiste: esiste il criterio del confronto (contraddistinto dal fatto che compare qualche simbolo $ < $, $ \le $ o $ > $, $ \ge $: un esempio nella seconda riga di formule del mio post precedente) e la stima asintotica (per $n to +\infty $, contraddistinta dal fatto che compaiono simboli del tipo [tex]\sim[/tex]) che è il comportamento dell'argomento della serie (e quindi poi in definitiva della serie) per grandi valori di $n$: un esempio nella terza riga di formule del mio post precedente, dove è chiaro che per grandi valori di $n$ il contributo del termine $1$ è trascurabile rispetto al contributo del termine $n^2$
Assolutamente no. Con la stima asintotica si hanno solo informazioni in merito al comportamento della serie (convergente o divergente), ma due serie con lo stesso comportamento (convergenti nel caso in esame) possono avere somma molto diversa, infatti si ha:
$sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^2 = pi^2/6 ~= 1,645 $
$sum_{n = 1}^{+\infty} frac{1}{n^2 + 1} = frac{\pi}{2} coth(\pi) - 1/2 ~= 1 $
Vorrei poi farti sommessamente notare che non l'ho fatto solo perché ci tenevo a mostrarti un esempio di criterio del confronto ed uno di stima asintotica, ma avrei potuto fare uso del criterio del confronto (che tendenzialmente prediligo) anche nella terza riga del mio post precedente:
$ sum_{n = 1}^{+\infty} frac{1}{n^2 + 1} < sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^2 = pi^2/6 $
In definitiva si ha:
$ 1 ~= frac{\pi}{2} coth(\pi) - 1/2 = sum_{n = 1}^{+\infty} frac{1}{n^2 + 1} < sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^2 = pi^2/6 ~= 1,645 $
"SalvatCpo":
una cosa buona per chiarirmi le idee sarebbe se qualcuno mi dicesse COSA è il confronto asintotico...
Se qualcuno te lo dice poi me lo fai sapere. Per me il confronto asintotico non esiste: esiste il criterio del confronto (contraddistinto dal fatto che compare qualche simbolo $ < $, $ \le $ o $ > $, $ \ge $: un esempio nella seconda riga di formule del mio post precedente) e la stima asintotica (per $n to +\infty $, contraddistinta dal fatto che compaiono simboli del tipo [tex]\sim[/tex]) che è il comportamento dell'argomento della serie (e quindi poi in definitiva della serie) per grandi valori di $n$: un esempio nella terza riga di formule del mio post precedente, dove è chiaro che per grandi valori di $n$ il contributo del termine $1$ è trascurabile rispetto al contributo del termine $n^2$
"SalvatCpo":
quindi non solo il comportamento è lo stesso, bensì addirittura il valore numerico della somma è uguale
Assolutamente no. Con la stima asintotica si hanno solo informazioni in merito al comportamento della serie (convergente o divergente), ma due serie con lo stesso comportamento (convergenti nel caso in esame) possono avere somma molto diversa, infatti si ha:
$sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^2 = pi^2/6 ~= 1,645 $
$sum_{n = 1}^{+\infty} frac{1}{n^2 + 1} = frac{\pi}{2} coth(\pi) - 1/2 ~= 1 $
Vorrei poi farti sommessamente notare che non l'ho fatto solo perché ci tenevo a mostrarti un esempio di criterio del confronto ed uno di stima asintotica, ma avrei potuto fare uso del criterio del confronto (che tendenzialmente prediligo) anche nella terza riga del mio post precedente:
$ sum_{n = 1}^{+\infty} frac{1}{n^2 + 1} < sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^2 = pi^2/6 $
In definitiva si ha:
$ 1 ~= frac{\pi}{2} coth(\pi) - 1/2 = sum_{n = 1}^{+\infty} frac{1}{n^2 + 1} < sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^2 = pi^2/6 ~= 1,645 $
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