Studio di una serie

[julio85]

Come faccio a studiare il carattere di questa serie? che criterio devo usare?

-il confronto non so con quale serie confrontarala
-il rappoto e il criterio della radice facendo i calcoli non riesco a risolvere niente

potete almeno suggerirmi quale criterio usare? e se mi dite di usare il confronto mi aiutate a capire come trovare la serie con cui confrontarla?

Comunque la serie di cui sto parlando è questa:

$ sum_(n = 1)^(oo) 1 / n^logn $

spero possiate aiutarmi

[Mikk_90]

Il confronto secondo me è il più veloce..
si vede che per $n>e^2$ si ha che $1/n^{logn}<1/n^2$ e quindi concludi.

[julio85]

perchè dici per $ n>e^2 $ ? la mia serie parte da 1 non da $ e^2 $

[Paolo902]

@ julio85

Conosci il criterio del confronto? E' quello che ha usato Mikk_90... Prova un po' a dare uno sguardo sul tuo libro, sicuramente lo trovi.

[Mikk_90]

Per il criterio del confronto è sufficiente che la serie in studio sia maggiorata definitivamente (cioè da un certo $n$ in poi)
In parole povere tu poi considerare la serie escludendo i primi $n$ termini perchè anche se sommi successivamente una quantità finita di termini il carattere della serie non ne risente.

[julio85]

è vero nella definizione del criterio c'è scritto definitivamente che appunto vuol dire da un certo n in poi....scusate!

posso chiedere un altra cosa? come hai fatto a vedere che per $ n>e^2 $ si ha che $ 1 / n^logn < 1/n^2 $ ?

cioè come potrei dimostrare questa affermazione?

[Paolo902]

$1/(n^(log n))<1/n^2 iff n^(logn)>n^2 iff log n >2$.

[julio85]

l'ultima cosa....come avete fatto a vedere subito che bisognava prendere $ n>e^2 $ ?

che ragionamento avete fatto?

ah non era l'ultima cosa

mi è venuto quest'altro dubbio....
la condizione necessaria di convergenza è che il limite per n che tende a +oo del termine generale sia 0. In questo caso

$ lim_(n -> +oo) 1 /n^logn = 1/oo^oo$ ???? cioè non mi ricordo se $ oo^oo $ fa $ oo $ oppure è forma indeterminata

[Mikk_90]

"julio85":l'ultima cosa....come avete fatto a vedere subito che bisognava prendere $ n>e^2 $ ?

che ragionamento avete fatto?

L'idea è: sai che $sum 1/n^a$ converge per $a>1$ in particolare per $a=2$.. Noti che $lim_{n to infty} logn= infty$ e quindi $forall M>0$ esiste $N$ t.c.$forall n>N$ $logn>M$ e quindi anche per $M=2$.

"julio85":ah non era l'ultima cosa

mi è venuto quest'altro dubbio....
la condizione necessaria di convergenza è che il limite per n che tende a +oo del termine generale sia 0. In questo caso

$ lim_(n -> +oo) 1 /n^logn = 1/oo^oo$ ???? cioè non mi ricordo se $ oo^oo $ fa $ oo $ oppure è forma indeterminata

Semplice verifica $n

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