Studio di una serie...
Salve, sono nuovo del forum e sono certo di trovarmi bene con voi!
Sto ripassando un pò le serie, volevo chiedervi se qualcuno può illustrarmi come studiare la seguente serie:
$sum_(n=1)^oo((-1)^nx^(2n+1))/(2n+1)$
al variare del numero reale x.
Visto che sembrerebbe una serie a termini di segno alterno ho provato a vedere per quali x sono soddisfatte le ipotesi del criterio di convergenza di Leibnitz.
Se non sbaglio sono vere per tutte le x$in[-1,1]$ e quindi in questo intervallo la serie dovrebbe essere convergente ma siccome è passato tanto tempo dall'ultima volta che ho toccato la matematica, volevo sapere da qualcuno più pratico di me se è giusto quello che ho detto e cosa succede fuori da quell'intervallo.
Grazie mille..
Sto ripassando un pò le serie, volevo chiedervi se qualcuno può illustrarmi come studiare la seguente serie:
$sum_(n=1)^oo((-1)^nx^(2n+1))/(2n+1)$
al variare del numero reale x.
Visto che sembrerebbe una serie a termini di segno alterno ho provato a vedere per quali x sono soddisfatte le ipotesi del criterio di convergenza di Leibnitz.
Se non sbaglio sono vere per tutte le x$in[-1,1]$ e quindi in questo intervallo la serie dovrebbe essere convergente ma siccome è passato tanto tempo dall'ultima volta che ho toccato la matematica, volevo sapere da qualcuno più pratico di me se è giusto quello che ho detto e cosa succede fuori da quell'intervallo.
Grazie mille..
Risposte
Innanzitutto un cordiale ‘benvenuto’… Osservando la serie da te proposta possiamo scriverla come…
$f(x)= sum_(n=1)^(oo) (-1)^n*x^(2n+1)/(2n+1)= sum_(n=0)^(oo) (-1)^n*x^(2n+1)/(2n+1)-x$ (1)
Il primo termine è una serie convergente per $|x|<1$ in quanto risulta…
$|x^(2n+1)/(2n+1)|<|x^(2n+1)|$ (2)
… essendo $x^(2n+1)$ il termine generale della serie geometrica la quale è assolutamente convergente per $|x|<1$. Nell’ipotesi che sia così non è difficile trovare anche la somma della (1). Osservando che è…
$f’(x)= sum_(n=0)^(oo) (-1)^n*x^(2n)-1= 1/(1+x^2)-1$ (3)
… integrando entrambi i termini si trova…
$f(x)= tan^(-1) x-x$ (4)
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$f(x)= sum_(n=1)^(oo) (-1)^n*x^(2n+1)/(2n+1)= sum_(n=0)^(oo) (-1)^n*x^(2n+1)/(2n+1)-x$ (1)
Il primo termine è una serie convergente per $|x|<1$ in quanto risulta…
$|x^(2n+1)/(2n+1)|<|x^(2n+1)|$ (2)
… essendo $x^(2n+1)$ il termine generale della serie geometrica la quale è assolutamente convergente per $|x|<1$. Nell’ipotesi che sia così non è difficile trovare anche la somma della (1). Osservando che è…
$f’(x)= sum_(n=0)^(oo) (-1)^n*x^(2n)-1= 1/(1+x^2)-1$ (3)
… integrando entrambi i termini si trova…
$f(x)= tan^(-1) x-x$ (4)
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
A domanda non e' seguita risposta mi pare: si chiedeva se il criterio di Leibniz fosse applicabile e in caso affermativo se era corretta la soluzione proposta; si', mi pare che sia corretto l'intervallo $[-1,1]$.
"keeper":
e cosa succede fuori da quell'intervallo.
in questo caso i termini non sono infinitesimi... e quindi non vi può essere convergenza...
Non c'e' convergenza significa che la serie diverge, oppure può essere irregolare? (dovrei fare altre considerazioni per arrivare a questa informazione?)
Grazie per il vostro aiuto!
Grazie per il vostro aiuto!
no dal fatto che non sono infinitesimi puoi solo concludere che non converge, non che diverge...
se vuoi provare che non diverge ci vuole qualche altro metodo... mi pare che la successione associata a quella serie definitivamente da un certo $M$ in poi abbia tutti i termini con indice dispari positivi e tutti i termini con indice pari negativi... da questo, visto che la serie non converge a zero, si può dedurre che oscilla...
La stima che ho provato a fare per ottenere il ris sopra è un pò brutale... prendi un $m$ dispari per esempio...
sommi tutti i termini precedenti considerandoli negativi e maggiorandone il modulo mettendo 1 al denominatore... (tramite la serie geometrica hai una somma esatta)...
poi vedi che l'm_esimo termine è positivo ed è definitivamente maggiore (per argomenti di comportamento asintotico) della somma calcolata precedentemente...
questo permette di concludere che definitivamente i termini con indice pari sono positivi... analogamente per i negativi...
poi si potrenno fare stime più precise, non ne dubito...
se vuoi provare che non diverge ci vuole qualche altro metodo... mi pare che la successione associata a quella serie definitivamente da un certo $M$ in poi abbia tutti i termini con indice dispari positivi e tutti i termini con indice pari negativi... da questo, visto che la serie non converge a zero, si può dedurre che oscilla...
La stima che ho provato a fare per ottenere il ris sopra è un pò brutale... prendi un $m$ dispari per esempio...
sommi tutti i termini precedenti considerandoli negativi e maggiorandone il modulo mettendo 1 al denominatore... (tramite la serie geometrica hai una somma esatta)...
poi vedi che l'm_esimo termine è positivo ed è definitivamente maggiore (per argomenti di comportamento asintotico) della somma calcolata precedentemente...
questo permette di concludere che definitivamente i termini con indice pari sono positivi... analogamente per i negativi...
poi si potrenno fare stime più precise, non ne dubito...
In generale una serie del tipo...
$sum_(n=0)^(oo) a_n*x^n$ (1)
... è chiamata serie di potenze e la variabile indipendente $x$ è un numero complesso. Si dimostra che la (1) è convergente in tutti in punti interni di un cerchio avente centro in $x=x_0$ e raggio $r$. Nel nostro caso la serie...
$sum_(n=1)^(oo) (-1)^n*x^n/(2n+1)$ (2)
... ha cerchio di convergenza con centro in $x=0$ e raggio $r=1$. Una serie di potenze è sempre convergente nei punti interni al suo cerchio di convergenza e non è mai convergente nei punti esterni. Che cosa succede però nei punti posti sul cerchio di convergenza?... In generale non si può affermare nulla al riguardo. Nel nostro caso ad esempio la (2) converge per $x=1$ e diverge per $x=-1$...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$sum_(n=0)^(oo) a_n*x^n$ (1)
... è chiamata serie di potenze e la variabile indipendente $x$ è un numero complesso. Si dimostra che la (1) è convergente in tutti in punti interni di un cerchio avente centro in $x=x_0$ e raggio $r$. Nel nostro caso la serie...
$sum_(n=1)^(oo) (-1)^n*x^n/(2n+1)$ (2)
... ha cerchio di convergenza con centro in $x=0$ e raggio $r=1$. Una serie di potenze è sempre convergente nei punti interni al suo cerchio di convergenza e non è mai convergente nei punti esterni. Che cosa succede però nei punti posti sul cerchio di convergenza?... In generale non si può affermare nulla al riguardo. Nel nostro caso ad esempio la (2) converge per $x=1$ e diverge per $x=-1$...
cordiali saluti
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