Studio di una serie

[Tom1092]

Salve, mi trovo davanti al seguente esercizio:

Discutere la convergenza o la divergenza della seguente serie:

$\sum_{n=1}^infty n/(2^n-sqrt(n)) \int_{0}^n e^-(x^2) dx$

A occhio potrei fare una congettura dicendo che converge.
Il problema per me è dare una stima, partendo dal fatto di trovare una funzione che maggiori $e^-(x^2)$.
Un suggerimento mi sarebbe davvero utile.

Grazie

[stormy1]

secondo me invece diverge perchè ho la netta sensazione che $ int_(0)^(n) e^(x^2) dx > n e^(n^2/4) $

[dissonance]

I termini grossi sono il $2^n$ al denominatore e l'integrale al numeratore. Tu sei proprio sicuro che il denominatore prevale sul numeratore, per \(n\) grande?

[Tom1092]

Ragazzi scusate, c'è un errore, che stupido è $e^-(x^2)$ nell'integrale

[Tom1092]

Ho appena corretto, aspetto nuovi suggerimenti, scusate ancora.

[stormy1]

a questo punto,tieni conto del fatto che
$ int_(-infty)^(+infty) e^(-x^2)dx =sqrtpi $

[Tom1092]

Perfetto, non conoscevo questa uguaglianza mi manca da trovare però una serie nota convergente che maggiori la frazione ma non riesco davvero a vederla.

[stormy1]

la serie data è maggiorata dalla serie di termine generale
$a_n=(sqrtpin)/(2^n-sqrtn)$
che è convergente (si può usare il criterio del rapporto per provarlo)

[dissonance]

Ma non occorre neanche conoscere il valore esatto dell'integrale. Basta sapere che converge, e usare che
\[
\int_{\mathbb{R}} e^{-x^2}\, dx \le C, \]
per una costante $C>0$. Notare che l'integrale converge è estremamente più semplice che calcolarne il valore.

Il resto è tutta questione di criterio del confronto.

[stormy1]

"dissonance":Ma non occorre neanche conoscere il valore esatto dell'integrale

ma dai...
questa notizia mi ha sconvolto

[dissonance]

@stormy: addirittura sconvolto! E perché?

[Tom1092]

Grazie mille, era più semplice di quanto pensassi.