Studio di una funzione, tutto fatto, corretto?
\(\displaystyle f(x) = (x^2 + 3x - 3)e^x \)
Correggetemi se sbaglio
Possiamo dire che il \(\displaystyle \mathbb{D} = \) \(\displaystyle \mathbb{R} ?\)
Inoltre facciamo le intersezioni con gli assi cartesiani:
\(\displaystyle f(0) = -3 \)
\(\displaystyle
f(x)=0 \) \(\displaystyle ? \)
Io ho \(\displaystyle (x^2 + 3x - 3)e^x \) Se volessi trovarne le soluzioni posso distinguere i \(\displaystyle 2 \) casi ? Ossia dire che \(\displaystyle f(x)=0 \)
quando \(\displaystyle (x^2 + 3x - 3) = 0 \) e quando \(\displaystyle e^x=0 ?\) Se la risposta fosse positiva avrei:
\(\displaystyle e^x = 0 \) MAI! e \(\displaystyle (x^2 + 3x - 3) = 0 \) trovando il \(\displaystyle \Delta = 21 \), ho
\(\displaystyle x_1 = \frac{-3 + \sqrt{21}}{2} \) e \(\displaystyle x_2 = \frac{-3 - \sqrt{21}}{2} \)
LIMITI:
\(\displaystyle x \rightarrow \ + \infty \)
\(\displaystyle (x^2 + 3x - 3) e^x = \infty \)
\(\displaystyle x \rightarrow \ - \infty \)
\(\displaystyle (x^2 + 3x - 3) e^x = 0 ? \) perchè avrei \(\displaystyle \frac{x^2}{e^x} \) in pratica, giusto \(\displaystyle ? \)
DERIVATA PRIMA
Bisogna fare la derivata di un prodotto quindi ho:
\(\displaystyle f '(x) = (2x + 3) e ^x + (x^2 + 3x - 3) e^x \)
Per trovare i max e min faccio:
\(\displaystyle f '(x) = (2x + 3) e ^x + (x^2 + 3x - 3) e^x = 0 \)
Il secondo pezzo sarebbe la funzione di partenza quindi le radici della funzione sono una un massimo l'altra un minimo o viceversa ?
Inoltre \(\displaystyle (2x + 3) e ^x = 0 \) quando \(\displaystyle x = - \frac{3}{2} ? \) Altro candidato max o min ???
Questi \(\displaystyle 3 \) punti devo metterli su una retta, in ordine, e studiare in quale intervallo \(\displaystyle f'(x) > 0 \) e \(\displaystyle f'(x)< 0 ? \)
DERIVATA SECONDA Sempre derivata del prodotto ma qui i prodotti sono \(\displaystyle 2 \) quindi:
\(\displaystyle
f''(x) = 2 e^x + (2x + 3)e^x + (2x + 3)e^x + (x^2 + 3x - 3)e^x ? \)
\(\displaystyle
f''(x) = 2 e^x + 2 (2x + 3)e^x + (x^2 + 3x - 3)e^x \)
Cosa ho dimenticato? Posso chiedervi quando f\(\displaystyle \) molto probabilmente ha un asintoto obliquo facendo considerazioni che si vedono ad occhio?
Se è tutto giusto avrei preso \(\displaystyle \frac{8}{30} \) al compito dell'anno passato.
Grazie
Correggetemi se sbaglio
Possiamo dire che il \(\displaystyle \mathbb{D} = \) \(\displaystyle \mathbb{R} ?\)
Inoltre facciamo le intersezioni con gli assi cartesiani:
\(\displaystyle f(0) = -3 \)
\(\displaystyle
f(x)=0 \) \(\displaystyle ? \)
Io ho \(\displaystyle (x^2 + 3x - 3)e^x \) Se volessi trovarne le soluzioni posso distinguere i \(\displaystyle 2 \) casi ? Ossia dire che \(\displaystyle f(x)=0 \)
quando \(\displaystyle (x^2 + 3x - 3) = 0 \) e quando \(\displaystyle e^x=0 ?\) Se la risposta fosse positiva avrei:
\(\displaystyle e^x = 0 \) MAI! e \(\displaystyle (x^2 + 3x - 3) = 0 \) trovando il \(\displaystyle \Delta = 21 \), ho
\(\displaystyle x_1 = \frac{-3 + \sqrt{21}}{2} \) e \(\displaystyle x_2 = \frac{-3 - \sqrt{21}}{2} \)
LIMITI:
\(\displaystyle x \rightarrow \ + \infty \)
\(\displaystyle (x^2 + 3x - 3) e^x = \infty \)
\(\displaystyle x \rightarrow \ - \infty \)
\(\displaystyle (x^2 + 3x - 3) e^x = 0 ? \) perchè avrei \(\displaystyle \frac{x^2}{e^x} \) in pratica, giusto \(\displaystyle ? \)
DERIVATA PRIMA
Bisogna fare la derivata di un prodotto quindi ho:
\(\displaystyle f '(x) = (2x + 3) e ^x + (x^2 + 3x - 3) e^x \)
Per trovare i max e min faccio:
\(\displaystyle f '(x) = (2x + 3) e ^x + (x^2 + 3x - 3) e^x = 0 \)
Il secondo pezzo sarebbe la funzione di partenza quindi le radici della funzione sono una un massimo l'altra un minimo o viceversa ?
Inoltre \(\displaystyle (2x + 3) e ^x = 0 \) quando \(\displaystyle x = - \frac{3}{2} ? \) Altro candidato max o min ???
Questi \(\displaystyle 3 \) punti devo metterli su una retta, in ordine, e studiare in quale intervallo \(\displaystyle f'(x) > 0 \) e \(\displaystyle f'(x)< 0 ? \)
DERIVATA SECONDA Sempre derivata del prodotto ma qui i prodotti sono \(\displaystyle 2 \) quindi:
\(\displaystyle
f''(x) = 2 e^x + (2x + 3)e^x + (2x + 3)e^x + (x^2 + 3x - 3)e^x ? \)
\(\displaystyle
f''(x) = 2 e^x + 2 (2x + 3)e^x + (x^2 + 3x - 3)e^x \)
Cosa ho dimenticato? Posso chiedervi quando f\(\displaystyle \) molto probabilmente ha un asintoto obliquo facendo considerazioni che si vedono ad occhio?
Se è tutto giusto avrei preso \(\displaystyle \frac{8}{30} \) al compito dell'anno passato.
Grazie
Risposte
fino allo studio di massimi e minimi non mi sembra che ci siano errori.
a quel punto però ti perdi un po', perché non raccogli \(e^x\)?
\(f'(x)=e^x(x^2+5x)=0\)
quindi devi solo più fare \(x^2+5x=0\) trovando così \(x_1=0\) e \(x_2=-5\)
la derivata seconda (dopo un po' di conti, magari) si riduce a \(f''(x)=e^x(x^2+7x+5)\), che mi sembra più trattabile della tua.
(non c'è alcunché di rigoroso in quanto segue, è solo per farsi un'idea)
per gli asintoti obliqui:
cerca di ricondurre la funzione a qualcosa che conosci e di cui sai il "grado"
l'esempio più semplice è quello di un quoziente di polinomi, qualcosa come \(\displaystyle\frac{x^2+1}x\) ad esempio, vedi che il grado del numeratore è \(2\) e quello del denominatore è \(1\), quindi fai \(2-1=1\), quindi sarà asintotica a una qualche \(cx\) per \(c\in\mathbb R\).
lo stesso principio si può adottare però anche a qualsiasi funzione più o meno nota, basti pensare a \(\sinh(x)\) e \(\cosh(x)\)...
a quel punto però ti perdi un po', perché non raccogli \(e^x\)?
\(f'(x)=e^x(x^2+5x)=0\)
quindi devi solo più fare \(x^2+5x=0\) trovando così \(x_1=0\) e \(x_2=-5\)
la derivata seconda (dopo un po' di conti, magari) si riduce a \(f''(x)=e^x(x^2+7x+5)\), che mi sembra più trattabile della tua.
(non c'è alcunché di rigoroso in quanto segue, è solo per farsi un'idea)
per gli asintoti obliqui:
cerca di ricondurre la funzione a qualcosa che conosci e di cui sai il "grado"
l'esempio più semplice è quello di un quoziente di polinomi, qualcosa come \(\displaystyle\frac{x^2+1}x\) ad esempio, vedi che il grado del numeratore è \(2\) e quello del denominatore è \(1\), quindi fai \(2-1=1\), quindi sarà asintotica a una qualche \(cx\) per \(c\in\mathbb R\).
lo stesso principio si può adottare però anche a qualsiasi funzione più o meno nota, basti pensare a \(\sinh(x)\) e \(\cosh(x)\)...
Grazie
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