Studio di una funzione svolto
[size=150]$f(x) = x e ^{x / (1 - |x|)}$[/size]
$\mathbb{D} = \mathbb{R} - {\pm 1}$
$f(0) = 0$
$f(x) = {(x e ^{x / (1 - x)},if x>=0),(x e ^{x / (1 + x)},if x<0):}$
$lim_{x->oo} (x e ^{x / (1 - x)}) = + oo$ $\lim_{x->-oo} (x e ^{x / (1 + x)}) = + oo$
$\lim_{x-> 1^+} (x e ^{x / (1 - x)}) = -oo \lim_{x->1^-} (x e ^{x / (1 -x)}) = + oo$
$\lim_{x-> -1^+} (x e ^{x / (1 + x)}) = + oo$ $\lim_{x-> -1^-} (x e ^{x / (1 + x)})= - oo$
Ragazzi le due derivate prime mi vengono uguali sia per $f(x)$ per $x>=0$ che per $x<0$ Una domanda che può sembrar banale, è un dubbio che non mi costa niente togliermi, ma non è mai detto che siano uguali giusto? perchè anche in un altra funzione col modulo lo erano...comunque se fossero diverse basta prenderne una e studiarne la crescenza/decrescenza in un intervallo? Se la derivata di una funzione definita ad esempio per $x>0$ mi viene crescente in un intevallo che sta tra le $x$ negative, significa che ho sbagliato qualcosa oppure c'è dell'altro da sapere?
$f'_1(x) = e ^{x / (1 - x)} + xe ^{x / (1 - x)} 1 / (1 - x)^2 = e ^{x / (1 - x)} (\frac{(1 - x)^2 + x}{(1 - x)^2}) = 0 ?$
Come si fa a vedere dove si annulla? Della derivata possiamo dire che l'esponenziale non si annulla mai, $(1 - x)^2$ per $x=1$ poi c'è un termine $x$ che si annulla in $0$. Ragazzi quando arrivo in situazioni del genere non riesco a finire l'esercizio, consigli? Mi aiutate per favore?
Grazie
$\mathbb{D} = \mathbb{R} - {\pm 1}$
$f(0) = 0$
$f(x) = {(x e ^{x / (1 - x)},if x>=0),(x e ^{x / (1 + x)},if x<0):}$
$lim_{x->oo} (x e ^{x / (1 - x)}) = + oo$ $\lim_{x->-oo} (x e ^{x / (1 + x)}) = + oo$
$\lim_{x-> 1^+} (x e ^{x / (1 - x)}) = -oo \lim_{x->1^-} (x e ^{x / (1 -x)}) = + oo$
$\lim_{x-> -1^+} (x e ^{x / (1 + x)}) = + oo$ $\lim_{x-> -1^-} (x e ^{x / (1 + x)})= - oo$
Ragazzi le due derivate prime mi vengono uguali sia per $f(x)$ per $x>=0$ che per $x<0$ Una domanda che può sembrar banale, è un dubbio che non mi costa niente togliermi, ma non è mai detto che siano uguali giusto? perchè anche in un altra funzione col modulo lo erano...comunque se fossero diverse basta prenderne una e studiarne la crescenza/decrescenza in un intervallo? Se la derivata di una funzione definita ad esempio per $x>0$ mi viene crescente in un intevallo che sta tra le $x$ negative, significa che ho sbagliato qualcosa oppure c'è dell'altro da sapere?
$f'_1(x) = e ^{x / (1 - x)} + xe ^{x / (1 - x)} 1 / (1 - x)^2 = e ^{x / (1 - x)} (\frac{(1 - x)^2 + x}{(1 - x)^2}) = 0 ?$
Come si fa a vedere dove si annulla? Della derivata possiamo dire che l'esponenziale non si annulla mai, $(1 - x)^2$ per $x=1$ poi c'è un termine $x$ che si annulla in $0$. Ragazzi quando arrivo in situazioni del genere non riesco a finire l'esercizio, consigli? Mi aiutate per favore?
Grazie
Risposte
Sulla simmetria delle derivate, invece di fare pericolosi voli pindarici, fai bene i conti! L'eventualità che esse siano uguali mi pare impossibile in questo caso: vedi che non c'è simmetria rispetto ad \(x=0\)? La funzione non è pari né dispari.
"dissonance":
Sulla simmetria delle derivate, invece di fare pericolosi voli pindarici, fai bene i conti! L'eventualità che esse siano uguali mi pare impossibile in questo caso: vedi che non c'è simmetria rispetto ad \(x=0\)? La funzione non è pari né dispari.
Certo sono uguali se c'è simmetria...comunque ho appena rifatto la derivata dell funzione definita per $x>=0$, è corretta, ma come faccio a vedere dove si annulla? mica è sempre crescente o decrescente! no? grazie dissonance
Tieni conto che l'esponenziale non s'annulla mai (dove è definita), il denominatore nemmeno, quindi alla fine ti basta considerare il numeratore. Nota anche che esponenziale e denominatore sono entrambi positivi ove definiti, quindi pure per lo studio del segno ti basta considerare il numeratore. (PS: Io me ne vado a dormire ora, se ti serve altro aiuto non se ne riparla prima di domani. 
).
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"dissonance":
Tieni conto che l'esponenziale non s'annulla mai (dove è definita), il denominatore nemmeno, quindi alla fine ti basta considerare il numeratore. Nota anche che esponenziale e denominatore sono entrambi positivi ove definiti, quindi pure per lo studio del segno ti basta considerare il numeratore. (PS: Io me ne vado a dormire ora, se ti serve altro aiuto non se ne riparla prima di domani.
il numeratore sarebbe $x^2 - 2x + 1$ con $\Delta < 0$ quindi $f(x)$ dopo zero è sempre crescente...
tra poco vado anche io, sei gentilissimo, grazie mille!
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