Studio di una funzione integrale
Si richiede lo studio della seguente funzione integrale: $F(x) = int_1^x log(t) dt$
Della funzione integranda è banale trovare una primitiva ( una, ad esempio, è $t log(t) - t$ ) ma vorrei intraprendere - a scopo puramente didattico - lo studio qualitativo di $F$ supponendo di non saper calcolare alcuna primitiva di $log(t)$.
$f(t) = log(t)$ è una funzione definita e continua in $(0, + oo)$, quindi è integrabile in ogni intervallo del tipo $[ a , b )$ con $0 < a < b$.
La $f(t)$ è a $int$ divergente in un intorno di $+oo$; infatti in un intorno di $+oo$ si ha: $1/t <= log(t)$; per la monotonia dell'integrale:
$int_(x_0)^(+oo) 1/t <= int_(x_0)^(+oo) log(t)$, il che significa che la funzione integrale $F$ diverge per $x -> +oo$. [E' giusto?]
$F(1) = 0$, ovvio.
Per $x in (0 , 1)$ ripristino così il verso "normale" di integrazione: $ - int_x^1 f(t) dt$ . [E' utile?]
Cerco di capire cosa avviene per $x -> 0^+$ : $lim_(x -> 0^+) - int_x^1 log(t) dt = - int_0^1 log(t) dt
$lim_(t -> 0^+) |t^2 * log(t)| = 0$ cioè $|t^2 * log(t)|$ è limitata , quindi:
$|log(t)| <= M t^(-2)$ , da cui, per il teorema del confronto, segue che $[- int_0^1 log(t) dt] in RR$ (chiamiamo $alpha$ questo valore).
$alpha > 0$, ma senza una primitiva non si può valutare. [Sbaglio?]
Domanda: $F$ è definita in $0$ o è prolungabile per continuità? Da quello che ho capito dal "vademecum" di Camillo, $F$ è definita in $0$.
Derivata: $F'(x) = log(x)$ $AA x in (0 , +oo)$ , per il teorema di Torricelli - Barrow.
Allora la funzione $F$ è decrescente per $x in (0 , 1)$ , nel punto $1$ ha un minimo relativo (si può dire anche che è il minimo assoluto, giusto?), e per $x in (1 , +oo)$ risulta crescente.
Derivata seconda: $F''(x) = 1/x$ ed è $> 0$ , $AA x in "Dom"(F)$. Quindi $F$ è convessa ovunque.
E con questo mi sembra di aver raccolto elementi sufficienti per tracciare il grafico. Ci sono correzioni e/o appunti?
Della funzione integranda è banale trovare una primitiva ( una, ad esempio, è $t log(t) - t$ ) ma vorrei intraprendere - a scopo puramente didattico - lo studio qualitativo di $F$ supponendo di non saper calcolare alcuna primitiva di $log(t)$.
$f(t) = log(t)$ è una funzione definita e continua in $(0, + oo)$, quindi è integrabile in ogni intervallo del tipo $[ a , b )$ con $0 < a < b$.
La $f(t)$ è a $int$ divergente in un intorno di $+oo$; infatti in un intorno di $+oo$ si ha: $1/t <= log(t)$; per la monotonia dell'integrale:
$int_(x_0)^(+oo) 1/t <= int_(x_0)^(+oo) log(t)$, il che significa che la funzione integrale $F$ diverge per $x -> +oo$. [E' giusto?]
$F(1) = 0$, ovvio.
Per $x in (0 , 1)$ ripristino così il verso "normale" di integrazione: $ - int_x^1 f(t) dt$ . [E' utile?]
Cerco di capire cosa avviene per $x -> 0^+$ : $lim_(x -> 0^+) - int_x^1 log(t) dt = - int_0^1 log(t) dt
$lim_(t -> 0^+) |t^2 * log(t)| = 0$ cioè $|t^2 * log(t)|$ è limitata , quindi:
$|log(t)| <= M t^(-2)$ , da cui, per il teorema del confronto, segue che $[- int_0^1 log(t) dt] in RR$ (chiamiamo $alpha$ questo valore).
$alpha > 0$, ma senza una primitiva non si può valutare. [Sbaglio?]
Domanda: $F$ è definita in $0$ o è prolungabile per continuità? Da quello che ho capito dal "vademecum" di Camillo, $F$ è definita in $0$.
Derivata: $F'(x) = log(x)$ $AA x in (0 , +oo)$ , per il teorema di Torricelli - Barrow.
Allora la funzione $F$ è decrescente per $x in (0 , 1)$ , nel punto $1$ ha un minimo relativo (si può dire anche che è il minimo assoluto, giusto?), e per $x in (1 , +oo)$ risulta crescente.
Derivata seconda: $F''(x) = 1/x$ ed è $> 0$ , $AA x in "Dom"(F)$. Quindi $F$ è convessa ovunque.
E con questo mi sembra di aver raccolto elementi sufficienti per tracciare il grafico. Ci sono correzioni e/o appunti?
Risposte
"Seneca":
$lim_(t -> 0^+) |t^2 * log(t)| = 0$ cioè $|t^2 * log(t)|$ è limitata , quindi:
$|log(t)| <= M t^(-2)$ , da cui, per il teorema del confronto, segue che $[- int_0^1 log(t) dt] in RR$ (chiamiamo $alpha$ questo valore).
Mi sono accorto che questo non si può fare, perché $t^(-2)$ è integrabile in senso generalizzato in un intorno di $+oo$, non in un intorno di $0$...
Come si può dimostrare che la funzione $F(x)$ è definita e continua in $0$, allora?
Secondo me non hai speranza di procedere per stime, a meno di barare, cioè di beccare la stima che ti suggerisce il fatto che puoi integrare esplicitamente. Il fatto che l'integrale converga in un intorno destro di $0$ è fortemente legato al fatto che la primitiva aggiusta la divergenza del logaritmo che è troppo lenta rispetto a $t$.
Però penso che il ragionamento di Seneca vada bene, basta sostituire $t^{-1/2}$ a $t^{-2}$. Resta poi il discorso continuità, che non è proprio ovvio. Meglio metterci in una cornice generale.
Domanda Sia $f : (0, 1] \to RR$ continua e tale che esista finito $\lim_{c \to 0^+}\int_c^1 f(x)dx$. Allora la funzione $F(y)=int_y^1 f(x)dx$ è definita in $[0, 1]$.
$F$ è continua in $0$?
Risposta Non è detto. (!)
Certamente questo è vero se esiste finito $\lim_{c \to 0^+}\int_c^1 |f(x)|dx$, però. (Si dice in questo caso che $f$ è assolutamente integrabile oppure che è sommabile). Solo che una dimostrazione elementare in questo momento non mi viene in mente: io userei il teorema della convergenza dominata. @Seneca: prova a pensarci un po' tu, è un esercizio interessante. Se hai bisogno chiedi che vediamo di affrontare il problema insieme.
Domanda Sia $f : (0, 1] \to RR$ continua e tale che esista finito $\lim_{c \to 0^+}\int_c^1 f(x)dx$. Allora la funzione $F(y)=int_y^1 f(x)dx$ è definita in $[0, 1]$.
$F$ è continua in $0$?
Risposta Non è detto. (!)
Certamente questo è vero se esiste finito $\lim_{c \to 0^+}\int_c^1 |f(x)|dx$, però. (Si dice in questo caso che $f$ è assolutamente integrabile oppure che è sommabile). Solo che una dimostrazione elementare in questo momento non mi viene in mente: io userei il teorema della convergenza dominata. @Seneca: prova a pensarci un po' tu, è un esercizio interessante. Se hai bisogno chiedi che vediamo di affrontare il problema insieme.
Dissonance non è che potresti fare un esempio di funzione integrale definita in un punto di discontinuità dell'integranda, ma non continua in tale punto?
Non è proprio immediato, in realtà: ci devo pensare un po' su. Tieni conto che, nelle applicazioni, le funzioni che ci interessano sono spesso sommabili e quindi il fenomeno non si presenta. Ma sono abbastanza sicuro che un controesempio, neanche troppo astruso, si possa trovare.
Beh ma io non riesco proprio a capire che tipo di funzione dovrebbe essere! Voglio dire che discontinuità dovrebbe avere per essere definita in quel punto? Di prima specie mi pare impossibile, di seconda specie nella maggior parte dei casi non sarebbe definita in quel punto (e nemmeno oltre), se ne trovi una che ha una discontinuità di terza specie giuro che resto così! O.O
Mi viene solo da pensare a qualche seno o coseno incasinati in qualche modo, quindi dovrebbe essere del tipo che da destra o da sinistra non esiste limite?
Mi viene solo da pensare a qualche seno o coseno incasinati in qualche modo, quindi dovrebbe essere del tipo che da destra o da sinistra non esiste limite?
Lascia stare questa classificazione delle discontinuità, è una roba da scuola superiore che non si usa più tanto. Io poi la trovo anche fuorviante. Tuttalpiù, distingui tra discontinuità di salto e tutto il resto, quella è l'unica classificazione con qualche uso.
Dunque, è chiaro che una funzione integranda con discontinuità di salto non fa al caso nostro, perché essa sarebbe assolutamente integrabile in tutto $[0, 1]$. Ci vuole una funzione integranda continua in $(0, 1]$, non limitata in alcun intorno destro di $0$, non a segno costante in alcun intorno destro di $0$. Inoltre essa deve essere integrabile in senso improprio ma non assolutamente integrabile. Forse $sin(1/x)/x, x \in (0, 1]$ va bene.
Dunque, è chiaro che una funzione integranda con discontinuità di salto non fa al caso nostro, perché essa sarebbe assolutamente integrabile in tutto $[0, 1]$. Ci vuole una funzione integranda continua in $(0, 1]$, non limitata in alcun intorno destro di $0$, non a segno costante in alcun intorno destro di $0$. Inoltre essa deve essere integrabile in senso improprio ma non assolutamente integrabile. Forse $sin(1/x)/x, x \in (0, 1]$ va bene.
Grazie a tutti per le risposte.
Intendi una dimostrazione per la $F$ nel caso generale o nel caso particolare che stavo studiando? Se fosse la seconda, visti i tuoi sggerimenti, direi che si potrebbe usare la funzione $t^(-1/2)$ per dimostrare che $|log(t)|$ è integrabile in senso generalizzato in un intorno destro dell'origine. Quindi $log(t)$ è assolutamente integrabile e risulta continua in $0$.
Nel caso generale... Supponiamo che $F$ sia assolutamente integrabile in $[0,1]$. Per assurdo sia $F$ non continua in $0$. Allora $EE epsilon_0 > 0 : AA delta > 0 , 0 <= c <= delta$ ma $|F(c) - F(0)| >= epsilon_0$
$| int_c^1 |f(t)| dt - int_0^1 |f(t)| dt | >= epsilon_0$
$| int_c^1 |f(t)| dt - int_0^c |f(t)| dt - int_c^1 |f(t)| dt | >= epsilon_0$
$int_0^c |f(t)| dt >= epsilon_0$ (*)
$EE lim_(c -> 0^+) int_0^c |f(t)| dt = 0$
Allora, fissando $epsilon = epsilon_1$, esiste un intorno destro di $0$ in cui $0 <= int_0^c |f(t)| dt < epsilon_0$, in contraddizione con (*).
Quindi la $F$ deve essere continua in $0$.
C'è qualcosa di vero in quello che ho dedotto?
"dissonance":
Solo che una dimostrazione elementare in questo momento non mi viene in mente: io userei il teorema della convergenza dominata. @Seneca: prova a pensarci un po' tu, è un esercizio interessante.
Intendi una dimostrazione per la $F$ nel caso generale o nel caso particolare che stavo studiando? Se fosse la seconda, visti i tuoi sggerimenti, direi che si potrebbe usare la funzione $t^(-1/2)$ per dimostrare che $|log(t)|$ è integrabile in senso generalizzato in un intorno destro dell'origine. Quindi $log(t)$ è assolutamente integrabile e risulta continua in $0$.
Nel caso generale... Supponiamo che $F$ sia assolutamente integrabile in $[0,1]$. Per assurdo sia $F$ non continua in $0$. Allora $EE epsilon_0 > 0 : AA delta > 0 , 0 <= c <= delta$ ma $|F(c) - F(0)| >= epsilon_0$
$| int_c^1 |f(t)| dt - int_0^1 |f(t)| dt | >= epsilon_0$
$| int_c^1 |f(t)| dt - int_0^c |f(t)| dt - int_c^1 |f(t)| dt | >= epsilon_0$
$int_0^c |f(t)| dt >= epsilon_0$ (*)
$EE lim_(c -> 0^+) int_0^c |f(t)| dt = 0$
Allora, fissando $epsilon = epsilon_1$, esiste un intorno destro di $0$ in cui $0 <= int_0^c |f(t)| dt < epsilon_0$, in contraddizione con (*).
Quindi la $F$ deve essere continua in $0$.
C'è qualcosa di vero in quello che ho dedotto?
Nel caso generale... Supponiamo che $F$ sia assolutamente integrabile in $[0,1]$. Per assurdo sia $F$ non continua in $0$. Allora $EE epsilon_0 > 0 : AA delta > 0 , 0 <= c <= delta$ ma $|F(c) - F(0)| >= epsilon_0$
$| int_c^1 f(t) dt - int_0^1 f(t) dt | >= epsilon_0$
$| int_c^1 f(t) dt - int_0^c f(t) dt - int_c^1 f(t) dt | >= epsilon_0$
$|int_0^c f(t) dt| >= epsilon_0$ (*)
Devo solo verificare l'esistenza di questo limite:
$EE lim_(c -> 0^+) |int_0^c f(t) dt| = 0$ (**)
Ma $ lim_(c -> 0^+) int_0^c |f(t)| dt = 0$ per l'ipotesi sull'assoluta integrabilità, e poiché $int_0^c |f(t)| dt >= |int_0^c |f(t)| dt| > 0$, per il teorema del confronto, si ha (**).
Allora, fissando $epsilon = epsilon_1$, esiste un intorno destro di $0$ in cui $0 <= | int_0^c f(t) dt | < epsilon_0$, in contraddizione con (*).
Quindi la $F$ deve essere continua in $0$.
(l'ho corretta)
$| int_c^1 f(t) dt - int_0^1 f(t) dt | >= epsilon_0$
$| int_c^1 f(t) dt - int_0^c f(t) dt - int_c^1 f(t) dt | >= epsilon_0$
$|int_0^c f(t) dt| >= epsilon_0$ (*)
Devo solo verificare l'esistenza di questo limite:
$EE lim_(c -> 0^+) |int_0^c f(t) dt| = 0$ (**)
Ma $ lim_(c -> 0^+) int_0^c |f(t)| dt = 0$ per l'ipotesi sull'assoluta integrabilità, e poiché $int_0^c |f(t)| dt >= |int_0^c |f(t)| dt| > 0$, per il teorema del confronto, si ha (**).
Allora, fissando $epsilon = epsilon_1$, esiste un intorno destro di $0$ in cui $0 <= | int_0^c f(t) dt | < epsilon_0$, in contraddizione con (*).
Quindi la $F$ deve essere continua in $0$.
(l'ho corretta)
Non c'è bisogno di procedere per assurdo: come noti anche tu devi solo mostrare che
$lim_{c \to 0} int_0^c f(x)dx=0$.
Come procedi va bene a parte il passaggio cruciale: tu usi il fatto che
$lim_{c \to 0} int_0^c|f(x)|dx=0$
e io sono d'accordo, ma perché? Non basta dire: "perché $f$ è assolutamente integrabile". Il grosso guaio è che quel limite, in realtà, è un limite di limite:
$lim_{c \to 0} lim_{k \to 0} \int_k^c|f(x)|dx$
(non ci scordiamo che stiamo parlando di un integrale improprio). E oggetti di questo tipo sono complicati da gestire.
Questi sono i limiti dell'integrale di Riemann. Nel contesto della teoria di Lebesgue questo risultato è una ovvia conseguenza del teorema di convergenza dominata.
$lim_{c \to 0} int_0^c f(x)dx=0$.
Come procedi va bene a parte il passaggio cruciale: tu usi il fatto che
$lim_{c \to 0} int_0^c|f(x)|dx=0$
e io sono d'accordo, ma perché? Non basta dire: "perché $f$ è assolutamente integrabile". Il grosso guaio è che quel limite, in realtà, è un limite di limite:
$lim_{c \to 0} lim_{k \to 0} \int_k^c|f(x)|dx$
(non ci scordiamo che stiamo parlando di un integrale improprio). E oggetti di questo tipo sono complicati da gestire.
Questi sono i limiti dell'integrale di Riemann. Nel contesto della teoria di Lebesgue questo risultato è una ovvia conseguenza del teorema di convergenza dominata.
Grazie Dissonance..
Non ci avevo pensato. Epperò $G(c) = int_0^c |f(x)|dx$ potrei prenderla come prolungamento per continuità di $F$ in $0$. Allora dovrei calcolare un solo limite:
$lim_{c \to 0} int_0^c |f(x)|dx=0$
Sbaglio?
[/quote]
Purtroppo è una cosa che non ho fatto...
"dissonance":
Il grosso guaio è che quel limite, in realtà, è un limite di limite:
$lim_{c \to 0} lim_{k \to 0} \int_k^c|f(x)|dx$
Non ci avevo pensato. Epperò $G(c) = int_0^c |f(x)|dx$ potrei prenderla come prolungamento per continuità di $F$ in $0$. Allora dovrei calcolare un solo limite:
$lim_{c \to 0} int_0^c |f(x)|dx=0$
Sbaglio?
"dissonance":
Nel contesto della teoria di Lebesgue questo risultato è una ovvia conseguenza del teorema di convergenza dominata.
[/quote]
Purtroppo è una cosa che non ho fatto...
Non sbagli. Ma, comunque, come concludere? Ci vuole qualcosa a garantirti che questa roba qua
$int_0^c|f(x)|dx$
se ne vada a zero. Con gli integrali propri, usi la limitatezza: $int_a^c|g(x)|dx \le (c-a)"sup"_{x \in [a, b]} |g(x)| \to 0$ per $c\to a$. Ma qui $"sup"_{x\in[0, c]}|f(x)|$ può tranquillamente essere $+\infty$ per ogni $c$, e allora questo approccio se ne va ai pesci.
$int_0^c|f(x)|dx$
se ne vada a zero. Con gli integrali propri, usi la limitatezza: $int_a^c|g(x)|dx \le (c-a)"sup"_{x \in [a, b]} |g(x)| \to 0$ per $c\to a$. Ma qui $"sup"_{x\in[0, c]}|f(x)|$ può tranquillamente essere $+\infty$ per ogni $c$, e allora questo approccio se ne va ai pesci.
Purtroppo è una cosa che non ho fatto...La farai, la farai.
Quello che volevo dire era: se io so che, per ipotesi, $lim_{k \to 0} \int_k^1 |f(x)|dx = alpha$ , allora posso definire la funzione $F^*(c) = \int_c^1 |f(x)|dx$ con $F(0) : = alpha$. Così mi basterebbe calcolare un solo limite... Forse...
Si, avevo capito. Va bene, ti sei ridotto a calcolare un solo limite. Ma è un passaggio solo formale che hai fatto. Sostanzialmente sei ancora lì, e un teorema che ti faccia passare al limite non lo hai cavato fuori da nessuna parte. Riflettici un attimo: con gli integrali definiti tu vai avanti a suon di limitatezza della funzione integranda. Casca quella, e casca tutto.
"dissonance":
Ma qui $"sup"_{x\in[0, c]}|f(x)|$ può tranquillamente essere $+\infty$ per ogni $c$
Non mi è chiaro questo. Come fa ad essere $+oo$ se suppongo che $int_0^1 |f(x)|dx = alpha$ , ovvero $int_0^c |f(x)|dx + int_c^1 |f(x)|dx = alpha$ .
Prendi $f(x)=x^{-1/2}$.
Ne convengo, sono oggetti bruttini da trattare... Con l'integrale di Lebesgue si semplicano le cose?
Si. E' una cosa abbastanza frequente, in matematica, che una questione oscura e complicata in un contesto diventi semplice e trasparente in un altro: pensiamo ad esempio all'equazione di terzo grado, in campo reale o in campo complesso. Il campo reale si è rivelato inadeguato a trattare la questione, l'ambito giusto è quello complesso. Ed è così anche qui: l'integrale di Riemann è inadeguato, il contesto giusto è quello di Lebesgue nel quale puoi risolvere rapidamente la questione con il seguente teorema.
Teorema (della convergenza dominata) Sia $f_n: [a, b] \to RR$ una successione di funzioni [size=75](*)[/size] ed $f:[a, b]\to RR$ una funzione tale che $f_n (x) \to f(x)$ per ogni $x \in [a, b]$ [size=75](*)[/size]. Se esiste una funzione assolutamente integrabile $g:[a, b] \to RR$ tale che, per ogni $n$ e per ogni $x \in [a, b]$, $|f_n(x)|\le |g(x)|$ (si dice in questo caso che la convergenza della successione $f_n$ è dominata dalla funzione $g$) allora
$int_a^b |f_n(x)-f(x)| dx \to 0$.
In particolare $f$ è assolutamente integrabile e $int_a^b f_n(x)dx \to \int_a^b f(x)dx$.
Nel nostro caso, noi abbiamo una funzione assolutamente integrabile $f: (0, 1] \to RR$. Definiamo, per ogni $0
$\chi_{[c, 1]}(x)={(1, x \in [c, 1]), (0, "altrimenti"):}$.
La famiglia $f*\chi_{[c, 1]}$ tende puntualmente ad $f$ quando $c \to 0$ e la convergenza è dominata dalla funzione assolutamente integrabile $|f|$. Quindi
$int_0^1 f(x)\chi_{[c, 1]}(x)dx \to \int_0^1f(x)dx,$
ma il primo integrale è proprio uguale a $int_c^1f(x)dx$, perciò
$int_c^1 f(x)dx\to \int_0^1 f(x)dx$.
Questo significa che la funzione integrale è continua in $0$, proprio ciò che volevamo dimostrare.
***
I passaggi segnati con (*) nell'enunciato indicano che ci vorrebbe qualche ipotesi in più: $f_n, f$ devono essere funzioni misurabili. Inoltre la convergenza puntuale non è necessaria: occorre e basta la convergenza puntuale quasi ovunque. Sono dettagli tecnici su cui è opportuno sorvolare, a suo tempo li vedrai nel dettaglio.
Teorema (della convergenza dominata) Sia $f_n: [a, b] \to RR$ una successione di funzioni [size=75](*)[/size] ed $f:[a, b]\to RR$ una funzione tale che $f_n (x) \to f(x)$ per ogni $x \in [a, b]$ [size=75](*)[/size]. Se esiste una funzione assolutamente integrabile $g:[a, b] \to RR$ tale che, per ogni $n$ e per ogni $x \in [a, b]$, $|f_n(x)|\le |g(x)|$ (si dice in questo caso che la convergenza della successione $f_n$ è dominata dalla funzione $g$) allora
$int_a^b |f_n(x)-f(x)| dx \to 0$.
In particolare $f$ è assolutamente integrabile e $int_a^b f_n(x)dx \to \int_a^b f(x)dx$.
Nel nostro caso, noi abbiamo una funzione assolutamente integrabile $f: (0, 1] \to RR$. Definiamo, per ogni $0
$\chi_{[c, 1]}(x)={(1, x \in [c, 1]), (0, "altrimenti"):}$.
La famiglia $f*\chi_{[c, 1]}$ tende puntualmente ad $f$ quando $c \to 0$ e la convergenza è dominata dalla funzione assolutamente integrabile $|f|$. Quindi
$int_0^1 f(x)\chi_{[c, 1]}(x)dx \to \int_0^1f(x)dx,$
ma il primo integrale è proprio uguale a $int_c^1f(x)dx$, perciò
$int_c^1 f(x)dx\to \int_0^1 f(x)dx$.
Questo significa che la funzione integrale è continua in $0$, proprio ciò che volevamo dimostrare.
***
I passaggi segnati con (*) nell'enunciato indicano che ci vorrebbe qualche ipotesi in più: $f_n, f$ devono essere funzioni misurabili. Inoltre la convergenza puntuale non è necessaria: occorre e basta la convergenza puntuale quasi ovunque. Sono dettagli tecnici su cui è opportuno sorvolare, a suo tempo li vedrai nel dettaglio.
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