Studio di una funzione integrale

[ncant04]

Si consideri $ t \geq 0 $ e la seguente funzione
\[
f(t) = \int_{0}^{t} \max \left(0, \sin (x) \right)
\]

Mi vengono posti i quesiti seguenti:

- Verificare che la funzione sia effettivamente definita su tutto $ \mathbb{R}^+ $;
- Calcolare i seguenti limiti: $ \lim_{t \to +\infty} f(t) $, $ \lim_{t \to 0} f(t) $.
[/list:u:3bst3z56]

Per il primo quesito, riscrivo $ f(t) $ come
\[
f(t) = \int_{0}^{t} g(x) \,dx
\]

dove $ g(x) = \max \left(0, \sin (x) \right) $, che posso anche scrivere come una funzione definita a tratti:
\[
g(x) = \begin{cases}
\sin x &\sin x > 0 \\
0 & \text{altrimenti}
\end{cases}
\]
ovvero:
\[
g(x) = \begin{cases}
\sin x & \text{per } 2\pi n < x < 2 \pi n + \pi, \qquad n \in \mathbb{Z} \\
0 & \text{altrimenti}
\end{cases}
\][nota]$ \sin x $ e $ 0 $ sono entrambe funzioni continue.[/nota]
Trattandosi di una funzione periodica (ovvio), analizzando la continuità della funzione in un punto $ x_0 $ del suo periodo, posso verificare la continuità anche di $ x_0 + T $, dove $ T $ è il periodo. Calcolando il limite per, ad esempio, $ x \to 2\pi $, noto che sia quello destro e sinistro coincidono, dunque la funzione è continua $ \forall x \in \mathbb{R} $
Essendo la funzione dentro l'integrale continua, l'integrale è definito e $ f(x) $ è continuo per $ t \geq 0 $.

Non riesco a fare il limite per $ t \to \infty $ di $ f(t) $. So che si tratta di un integrale indefinito. Mi potete dare una mano per impostarlo.

Come al solito, grazie infinitamente.

[gugo82]

L'integrando è continuo in tutto $RR$, dunque integrabile in ogni compatto del tipo $[0,t]$ con $t >=0$; quindi la funzione $f$ è ben definita.

Il limite per $t -> 0$ è nullo, come conseguenza della disuguaglianza banale $|f(t)| <= t$ (che viene fuori dal fatto che $sin x <= 1$ ovunque e dalla disuguaglianza triangolare per l'integrale).

Il limite per $t -> oo$ si può calcolare osservando innanzitutto che esso esiste, perché $f$ è crescente (in quanto integrale di una funzione $>=0$), e poi osservando che si possono usare la successione divergente $(2npi)$, il teorema ponte e la proprietà additiva per scrivere:
\[
\begin{split}
\lim_{t \to \infty} f(t) &= \lim_{n \to \infty} f(2n\pi) \\ &= \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} \int_{2k\pi}^{2(k+1)\pi} \max \{ 0, \sin x\}\ \text{d} x \\
&= \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} \int_{2k\pi}^{(2k+1)\pi} \sin x\ \text{d} x \\
&= \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} \int_{0}^{\pi} \sin x\ \text{d} x \\
&= \lim_{n \to \infty} 2n\; ,
\end{split}
\]
da cui segue l'inevitabile conclusione.