Studio di una funzione integrale
Buongiorno
ho la seguente funzione integrale
$F(x)=\int_0^x log(1-e^((t-1)/t^2)) dt$
tuttavia durante lo studio ho ottenuto una serie di in formazioni contrastanti tra loro
vorrei che mi diceste dove sbaglio
vi trascrivo i risultati di cui sono meno sicura o che mi creano problemi
DOMINIO
il dominio della funzione integrada (che chiamerò f(x)) è $(-\infty,0)uu(0,1)$ quindi F(x) certamente esiste in quegli intervalli
tuttavia F(x) esiste anche in 0 infatti $F(x)=\int_0^0 f(t) dt =0$
SEGNO
$f(x) < log(1) = 0$ su tutto il dominio
quindi $F(x)<=0$ su tutto il dominio
LIMITI
$lim_(x->-\infty) f(x) = lim_(x->1_-) f(x) = -\infty$
quindi la porzione di piano compresa tra l'asse x ed f(x) si "apre" agli estremi del dominio ,e quindi
$lim_(x->-\infty) F(x) = lim_(x->1_-) F(x) = -\infty$
MONOTONIA
$F'(x)=log(1-e^((x-1)/x^2))$
quindi $F'(x)>0 \Leftrightarrow 1-e^((x-1)/x^2)> 1$ cioè mai
quindi F(x) è sempre decrescente
ma questo si scontra col la precedente informazione $lim_(x->-\infty) F(x) = -\infty$
perchè?
grazie mille
ho la seguente funzione integrale
$F(x)=\int_0^x log(1-e^((t-1)/t^2)) dt$
tuttavia durante lo studio ho ottenuto una serie di in formazioni contrastanti tra loro
vorrei che mi diceste dove sbaglio
vi trascrivo i risultati di cui sono meno sicura o che mi creano problemi
DOMINIO
il dominio della funzione integrada (che chiamerò f(x)) è $(-\infty,0)uu(0,1)$ quindi F(x) certamente esiste in quegli intervalli
tuttavia F(x) esiste anche in 0 infatti $F(x)=\int_0^0 f(t) dt =0$
SEGNO
$f(x) < log(1) = 0$ su tutto il dominio
quindi $F(x)<=0$ su tutto il dominio
LIMITI
$lim_(x->-\infty) f(x) = lim_(x->1_-) f(x) = -\infty$
quindi la porzione di piano compresa tra l'asse x ed f(x) si "apre" agli estremi del dominio ,e quindi
$lim_(x->-\infty) F(x) = lim_(x->1_-) F(x) = -\infty$
MONOTONIA
$F'(x)=log(1-e^((x-1)/x^2))$
quindi $F'(x)>0 \Leftrightarrow 1-e^((x-1)/x^2)> 1$ cioè mai
quindi F(x) è sempre decrescente
ma questo si scontra col la precedente informazione $lim_(x->-\infty) F(x) = -\infty$
perchè?
grazie mille
Risposte
Ciao
$F(x)=int_0^xf(t)dt=int_0^x ln(1-e^((t-1)/t^2))dt$
Questo non si può dire (l'integrale infatti potrebbe anche "non avere senso"): devi dimostrare che $F(x)$ sia continua in $x_0=0$. Conosci i criteri di convergenza?
EDIT:
E perché? Il fatto che $f(x)(=F'(x))<0$ nel proprio dominio significa solo che l'integrale è strettamente decrescente, non che sia anch'esso negativo (inoltre, una volta che hai dimostrato che in $x_0=0$ l'integrale è continuo, che $int_0^0f(t)dt=0$ e ricordando che esso è monotono decrescente, allora sicuramente $F(x)>0$ per $x<0$)
$F(x)=int_0^xf(t)dt=int_0^x ln(1-e^((t-1)/t^2))dt$
"Benihime":
tuttavia F(x) esiste anche in 0 infatti $F(x)=\int_0^0 f(t) dt =0$
Questo non si può dire (l'integrale infatti potrebbe anche "non avere senso"): devi dimostrare che $F(x)$ sia continua in $x_0=0$. Conosci i criteri di convergenza?
EDIT:
"Benihime":
SEGNO
$f(x) < log(1) = 0$ su tutto il dominio
quindi $F(x)<=0$ su tutto il dominio
E perché? Il fatto che $f(x)(=F'(x))<0$ nel proprio dominio significa solo che l'integrale è strettamente decrescente, non che sia anch'esso negativo (inoltre, una volta che hai dimostrato che in $x_0=0$ l'integrale è continuo, che $int_0^0f(t)dt=0$ e ricordando che esso è monotono decrescente, allora sicuramente $F(x)>0$ per $x<0$)
Secondo il tuo ragionamento la funzione:
\[
\int_0^x \frac{1}{t}\ \text{d} t
\]
sarebbe ben definita ovunque e definita anche in \(0\)... Quindi c'è qualcosa che non va.
\[
\int_0^x \frac{1}{t}\ \text{d} t
\]
sarebbe ben definita ovunque e definita anche in \(0\)... Quindi c'è qualcosa che non va.
"Brancaleone":
Ciao
$F(x)=int_0^xf(t)dt=int_0^x ln(1-e^((t-1)/t^2))dt$
[quote="Benihime"]
tuttavia F(x) esiste anche in 0 infatti $F(x)=\int_0^0 f(t) dt =0$
Questo non si può dire (l'integrale infatti potrebbe anche "non avere senso"): devi dimostrare che $F(x)$ sia continua in $x_0=0$. Conosci i criteri di convergenza? [/quote]
Si li conosco...però fatico a maneggiarli...vediamo...
Potrebbe andare dire che $log(1-e^((t-1)/t^2))$ è asintotica a $-e^((t-1)/t^2)$ che a sua volta è asintotica a $ -e^(-1/t^2)$ ? quest’ultima è integrabile in 0 no?
"Brancaleone":
EDIT:
[quote="Benihime"]
SEGNO
$f(x) < log(1) = 0$ su tutto il dominio
quindi $F(x)<=0$ su tutto il dominio
E perché? Il fatto che $f(x)(=F'(x))<0$ nel proprio dominio significa solo che l'integrale è strettamente decrescente, non che sia anch'esso negativo (inoltre, una volta che hai dimostrato che in $x_0=0$ l'integrale è continuo, che $int_0^0f(t)dt=0$ e ricordando che esso è monotono decrescente, allora sicuramente $F(x)>0$ per $x<0$)[/quote]
Pensavo che se la funzione integranda era tutta sotto l’asse delle x, lo era anche l’area tra asse e grafico di f(x),cioè F(x)
"gugo82":
Secondo il tuo ragionamento la funzione:
\[
\int_0^x \frac{1}{t}\ \text{d} t
\]
sarebbe ben definita ovunque e definita anche in \(0\)... Quindi c'è qualcosa che non va.
scusa dov'è che dico questo?
"Benihime":
[quote="gugo82"]Secondo il tuo ragionamento la funzione:
\[
\int_0^x \frac{1}{t}\ \text{d} t
\]
sarebbe ben definita ovunque e definita anche in \(0\)... Quindi c'è qualcosa che non va.
scusa dov'è che dico questo?[/quote]
Esattamente qui:
"Benihime":
DOMINIO
il dominio della funzione integrada (che chiamerò f(x)) è $(-\infty,0)uu(0,1)$ quindi F(x) certamente esiste in quegli intervalli
tuttavia F(x) esiste anche in 0 infatti $F(x)=\int_0^0 f(t) dt =0$
"Benihime":
Si li conosco...però fatico a maneggiarli...vediamo...
Potrebbe andare dire che $log(1-e^((t-1)/t^2))$ è asintotica a $-e^((t-1)/t^2)$ che a sua volta è asintotica a $ -e^(-1/t^2)$ ? quest’ultima è integrabile in 0 no?
Facciamola più semplice: l'integrale $F(x)$ converge in $x_0=0$ se esiste finito il limite $lim_(t->0)f(t)$. Quanto vale questo limite?
il limite ale 0....quindi F(x) converge?
Certo, e solo ora che sai che $F(x)$ converge puoi affermare che $int_0^0 f(t)dt$ esiste e vale $0$.
ah ok rileggendo meglio tutto è tutto più chiaro,mia avete illuminato su un sacco di cose sulle funzioni integrali...
grazie mille davvero
grazie mille davvero
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