Studio di una funzione implicita
ciao a tutti! sto affrontando le funzioni implicite e vi sono alcune cose che non mi sono chiare. Fra queste l'analisi dell'andamento di una funzione implicita mi sta dando qualche problema, visto che non so bene come procedere. Speravo che qualcuno potesse indicarmi un po' i vari modi di procedere ed eventuali "trucchi".
Per portare un esempio, mi viene chiesto di
a)verificare che la relazione
$F(x,y) = sqrt(x) (y^3 - x^3) +y - 2 = 0$
definisce implicitamente una ed una sola funzione implicita y = f(x) su $[0, +infty)$;
b)studiarne l'andamento e tracciarne il grafico.
ecco, per la prima parte io farei così:
fisso un generico $x_0$ e considero quindi la restrizione della funzione $F(x,y) = sqrt(x) (y^3 - x^3) +y - 2$ ad una retta parallella all'asse delle y.
ho che
$\lim_{y \to \+infty}F(x_0,y) = +infty$
$\lim_{y \to \-infty}F(x_0,y) = -infty$
inoltre ho che $F'(x_0 , y) = 3 y^2 sqrt(x_0) +1 > 0 $ sempre. Quindi la mia funzione ammette uno ed un solo zero sulla restrizione considerata.
ho quindi una funzione implicita unica definita su tutto $[0,+infty)$ t.c.
$F(x,f(x)) = 0$
per ogni x in $[0,+infty)$.
E questo dovrebbe essere il primo punto(correggetemi se ho sbagliato qualcosa, grazie)
Per quanto riguarda lo studio della funzione implicita brancolo un po' nel buio, nel senso che non so proprio da cosa cominciare. Scusate se non scrivo molto su questa parte ma non ci ho ancora capito niente onestamente
Comunque l'unica cosa che mi passa per la testa al momento è che il teorema del Dini mi fornisce un'informazione sulla forma delle derivate della funzione implicita, ma ciò vale solo nei punti $(x_0 , y_0)$ che soddisfano le richieste del teorema vero? Quindi a livello globale non posso usare l'espressione fornita dal teorema per conoscere l'andamento della derivata giusto?
detto questo mi affido a voi. Vi ringrazio come sempre per la disponibilità
Per portare un esempio, mi viene chiesto di
a)verificare che la relazione
$F(x,y) = sqrt(x) (y^3 - x^3) +y - 2 = 0$
definisce implicitamente una ed una sola funzione implicita y = f(x) su $[0, +infty)$;
b)studiarne l'andamento e tracciarne il grafico.
ecco, per la prima parte io farei così:
fisso un generico $x_0$ e considero quindi la restrizione della funzione $F(x,y) = sqrt(x) (y^3 - x^3) +y - 2$ ad una retta parallella all'asse delle y.
ho che
$\lim_{y \to \+infty}F(x_0,y) = +infty$
$\lim_{y \to \-infty}F(x_0,y) = -infty$
inoltre ho che $F'(x_0 , y) = 3 y^2 sqrt(x_0) +1 > 0 $ sempre. Quindi la mia funzione ammette uno ed un solo zero sulla restrizione considerata.
ho quindi una funzione implicita unica definita su tutto $[0,+infty)$ t.c.
$F(x,f(x)) = 0$
per ogni x in $[0,+infty)$.
E questo dovrebbe essere il primo punto(correggetemi se ho sbagliato qualcosa, grazie)
Per quanto riguarda lo studio della funzione implicita brancolo un po' nel buio, nel senso che non so proprio da cosa cominciare. Scusate se non scrivo molto su questa parte ma non ci ho ancora capito niente onestamente
Comunque l'unica cosa che mi passa per la testa al momento è che il teorema del Dini mi fornisce un'informazione sulla forma delle derivate della funzione implicita, ma ciò vale solo nei punti $(x_0 , y_0)$ che soddisfano le richieste del teorema vero? Quindi a livello globale non posso usare l'espressione fornita dal teorema per conoscere l'andamento della derivata giusto?
detto questo mi affido a voi. Vi ringrazio come sempre per la disponibilità
Risposte
Ciao, questo è proprio il classico esercizio da teorema delle funzioni implicite (pag. 2 della dispensa). Le ipotesi sono tutte verificate, ad esempio, con il punto (2,2). Calcola la derivata prima dell'implicita usando la formula del teorema, poi fai uno studio della derivata ed avrai dominio ed un grafico approssimativo dell'implicita.
Ricorda che il teorema è locale, quindi garantisce esistenza ed unicità dell'implicita in un intorno di un punto specifico: il tuo scopo è, dalla derivata prima dell'implicita, dimostrare che l'implicita è definita in tutto l'intervallo che ti interessa, in questo caso $RR^+$. A volte, in casi molto semplici, si può addirittura integrare e trovare esplicitamente l'implicita (mi si annoda il cervello solo a pensare questa frase ma vabbè). Qui temo non basterà. Prova e nel caso scrivi ancora.
Ricorda che il teorema è locale, quindi garantisce esistenza ed unicità dell'implicita in un intorno di un punto specifico: il tuo scopo è, dalla derivata prima dell'implicita, dimostrare che l'implicita è definita in tutto l'intervallo che ti interessa, in questo caso $RR^+$. A volte, in casi molto semplici, si può addirittura integrare e trovare esplicitamente l'implicita (mi si annoda il cervello solo a pensare questa frase ma vabbè). Qui temo non basterà. Prova e nel caso scrivi ancora.
ciao poll89 w, prima di tutto, grazie per la risposta.
Purtroppo non mi sono chiare alcune cose di ciò che mi hai detto, ad esempio:
prima di tutto, per far vedere che esiste una funzione implicita sull'intervallo considerato, non va bene il metodo che ho utilizzato?
seconda cosa: se ho capito quello che mi stai dicendo secondo te dovrei applicare localmente il Dini, ad esempio in $(2,2)$ dove
$F(2,2) = 0$
$F_y (2,2) != 0$
e vedere che
$f'(x) = - (f^3(x) -7x^3)/((2sqrt(x)(3 f^2(x)sqrt(x) +1))$
da qui non son sicuro di aver capito cosa dovrei fare: studiarne il segno? perchè qui ho che il denominatore è sempre positivo, mentre per il denominatoe ritrovo
$f^3(x) >= 7x^3$
che non posso studiare non conoscendo la $f(x)$ no?
ti ringrazio ancora per l'aiuto
Purtroppo non mi sono chiare alcune cose di ciò che mi hai detto, ad esempio:
prima di tutto, per far vedere che esiste una funzione implicita sull'intervallo considerato, non va bene il metodo che ho utilizzato?
seconda cosa: se ho capito quello che mi stai dicendo secondo te dovrei applicare localmente il Dini, ad esempio in $(2,2)$ dove
$F(2,2) = 0$
$F_y (2,2) != 0$
e vedere che
$f'(x) = - (f^3(x) -7x^3)/((2sqrt(x)(3 f^2(x)sqrt(x) +1))$
da qui non son sicuro di aver capito cosa dovrei fare: studiarne il segno? perchè qui ho che il denominatore è sempre positivo, mentre per il denominatoe ritrovo
$f^3(x) >= 7x^3$
che non posso studiare non conoscendo la $f(x)$ no?
ti ringrazio ancora per l'aiuto
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo